Вопросы после параграфа §6 на странице 54, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
1. Опишите, какое уравнение называют логарифмическим. 2. Сформулируйте теоремы, которые используют при решении логарифмических уравнений.
Логарифмическим называют уравнение, в котором переменная входит под знак логарифма или в его основание: \(\log_{2}(x - 1) = 3\), \(\lg(x^{2} + 2) = \lg(3x + 6)\), \(\log_{5} x + \log_{5}(x - 4) = 1\), \(\log_{x} 49 = 2\).
Простейшее логарифмическое уравнение — уравнение вида \(\log_{a} x = b\), где \(a > 0\), \(a \ne 1\), а \(b\) — произвольное число. Графики функций \(y = \log_{a} x\) и \(y = b\) пересекаются ровно в одной точке, поэтому при любом \(b\) корень единственный и по определению логарифма равен \(a^{b}\): у уравнения \(\log_{2} x = 5\) корень \(x = 2^{5} = 32\).
Ответ: логарифмическим называют уравнение, в котором переменная входит под знак логарифма или в его основание; простейшее логарифмическое уравнение \(\log_{a} x = b\), где \(a > 0\) и \(a \ne 1\), при любом \(b\) имеет единственный корень \(x = a^{b}\).
Пусть \(a > 0\), \(a \ne 1\).
Уравнение \(\log_{a} f(x) = b\) равносильно уравнению \(f(x) = a^{b}\): степень \(a^{b}\) положительна, поэтому условие \(f(x) > 0\) выполняется само собой.
Если \(\log_{a} x_{1} = \log_{a} x_{2}\), то \(x_{1} = x_{2}\); и наоборот, если \(x_{1} > 0\), \(x_{2} > 0\) и \(x_{1} = x_{2}\), то \(\log_{a} x_{1} = \log_{a} x_{2}\). Логарифмическая функция монотонна (при \(a > 1\) возрастающая, при \(0 < a < 1\) убывающая), поэтому каждое своё значение принимает только при одном значении аргумента.
Следствие: уравнение \(\log_{a} f(x) = \log_{a} g(x)\) равносильно любой из двух систем: \[\begin{cases} f(x) = g(x), \\ f(x) > 0; \end{cases} \qquad \begin{cases} f(x) = g(x), \\ g(x) > 0. \end{cases}\]
Берут ту, в которой неравенство решить легче: для уравнения \(\lg(x^{2} + 2) = \lg(3x + 6)\) удобнее условие \(x^{2} + 2 > 0\), верное при всех значениях \(x\).
Ответ: уравнение \(\log_{a} f(x) = b\) равносильно уравнению \(f(x) = a^{b}\); если \(\log_{a} x_{1} = \log_{a} x_{2}\), то \(x_{1} = x_{2}\), и наоборот, при \(x_{1} > 0\) и \(x_{2} > 0\) из \(x_{1} = x_{2}\) следует \(\log_{a} x_{1} = \log_{a} x_{2}\); уравнение \(\log_{a} f(x) = \log_{a} g(x)\) равносильно каждой из систем «\(f(x) = g(x)\), \(f(x) > 0\)» и «\(f(x) = g(x)\), \(g(x) > 0\)».
1. Опишите, какое уравнение называют логарифмическим. 2. Сформулируйте теоремы, которые используют при решении логарифмических уравнений.
Логарифмическим называют уравнение, в котором переменная входит под знак логарифма или в его основание. Логарифмические уравнения — это, например, \(\log_{2}(x - 1) = 3\), \(\lg(x^{2} + 2) = \lg(3x + 6)\), \(\log_{5} x + \log_{5}(x - 4) = 1\), \(\log_{x} 49 = 2\).
Простейшим логарифмическим уравнением называют уравнение вида \(\log_{a} x = b\), где \(a > 0\), \(a \ne 1\), а \(b\) — произвольное число. Графики функций \(y = \log_{a} x\) и \(y = b\) пересекаются ровно в одной точке, поэтому при любом \(b\) такое уравнение имеет единственный корень; по определению логарифма этот корень равен \(a^{b}\). Так, уравнение \(\log_{2} x = 5\) имеет единственный корень \(x = 2^{5} = 32\).
Ответ: логарифмическим называют уравнение, в котором переменная входит под знак логарифма или в его основание; простейшее логарифмическое уравнение \(\log_{a} x = b\), где \(a > 0\) и \(a \ne 1\), при любом \(b\) имеет единственный корень \(x = a^{b}\).
Первое утверждение — о простейшем уравнении с выражением под знаком логарифма. Пусть \(a > 0\), \(a \ne 1\). Уравнение \(\log_{a} f(x) = b\) равносильно уравнению \(f(x) = a^{b}\). Отдельно требовать \(f(x) > 0\) не нужно: степень \(a^{b}\) положительна, поэтому это неравенство выполняется само собой. Например, уравнение \(\log_{3}(3x - 1) = 2\) равносильно уравнению \(3x - 1 = 3^{2}\), откуда \(x = \frac{10}{3}\).
Вторая теорема — о равенстве двух логарифмов с одинаковым основанием. Пусть \(a > 0\), \(a \ne 1\). Если \(\log_{a} x_{1} = \log_{a} x_{2}\), то \(x_{1} = x_{2}\); и наоборот, если \(x_{1} > 0\), \(x_{2} > 0\) и \(x_{1} = x_{2}\), то \(\log_{a} x_{1} = \log_{a} x_{2}\). Она опирается на монотонность логарифмической функции: при \(a > 1\) функция \(y = \log_{a} x\) возрастающая, при \(0 < a < 1\) — убывающая, а потому каждое своё значение принимает только при одном значении аргумента.
Из этой теоремы вытекает следствие, которым и пользуются чаще всего. Уравнение \(\log_{a} f(x) = \log_{a} g(x)\), где \(a > 0\) и \(a \ne 1\), равносильно любой из двух систем: \[\begin{cases} f(x) = g(x), \\ f(x) > 0; \end{cases} \qquad \begin{cases} f(x) = g(x), \\ g(x) > 0. \end{cases}\]
Берут ту из них, в которой неравенство решить легче. Например, для уравнения \(\lg(x^{2} + 2) = \lg(3x + 6)\) удобнее условие \(x^{2} + 2 > 0\): оно выполняется при всех значениях \(x\).
Ответ: уравнение \(\log_{a} f(x) = b\) равносильно уравнению \(f(x) = a^{b}\); если \(\log_{a} x_{1} = \log_{a} x_{2}\), то \(x_{1} = x_{2}\), и наоборот, при \(x_{1} > 0\) и \(x_{2} > 0\) из \(x_{1} = x_{2}\) следует \(\log_{a} x_{1} = \log_{a} x_{2}\); уравнение \(\log_{a} f(x) = \log_{a} g(x)\) равносильно каждой из систем «\(f(x) = g(x)\), \(f(x) > 0\)» и «\(f(x) = g(x)\), \(g(x) > 0\)».
