Страница 59 номер 6.34, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа

1) Второе уравнение системы равносильно системе \[\begin{cases} 3x - 2y = 5 + x - 3y, \\ 3x - 2y > 0. \end{cases}\]

Первое уравнение этой системы даёт \(y = 5 - 2x\); неравенство \(3x - 2y > 0\) остаётся условием отбора.

Подставим \(y = 5 - 2x\) в первое уравнение исходной системы: \(4^x + 2^{5 - 2x} = 12\). Пусть \(4^x = u\), где \(u > 0\). Так как \(2^{5 - 2x} = \frac{32}{4^x}\), получаем \[u + \frac{32}{u} = 12; \qquad u^2 - 12u + 32 = 0.\]

Отсюда \(u = 4\) или \(u = 8\), то есть \(2^{2x} = 2^2\) или \(2^{2x} = 2^3\). Получаем: \(x = 1\) или \(x = 1{,}5\).

При \(x = 1\) имеем \(y = 3\) и \(3x - 2y = -3 < 0\) — эта пара условию не удовлетворяет. При \(x = 1{,}5\) имеем \(y = 2\) и \(3x - 2y = 0{,}5 > 0\) — пара подходит.

2) Область определения системы задаётся условиями \(x > 0\), \(y > 0\).

Числа \(x^{\log_2 y}\) и \(y^{\log_2 x}\) положительны, а их логарифмы по основанию 2 равны \(\log_2 x \cdot \log_2 y\), поэтому эти числа равны. Первое уравнение принимает вид \(2y^{\log_2 x} = 16\); \(y^{\log_2 x} = 8\). Логарифмируя обе его части по основанию 2, получаем \(\log_2 x \cdot \log_2 y = 3\).

Пусть \(\log_2 x = u\), \(\log_2 y = v\). Система принимает вид \[\begin{cases} uv = 3, \\ u - v = 2. \end{cases}\]

Отсюда \(u = v + 2\) и \(v^2 + 2v - 3 = 0\); \(v = -3\) или \(v = 1\).

Если \(v = 1\), то \(u = 3\) и \(x = 8\), \(y = 2\); если \(v = -3\), то \(u = -1\) и \(x = \frac{1}{2}\), \(y = \frac{1}{8}\).

3) Основания логарифмов положительны и отличны от единицы, поэтому область определения системы задаётся условиями \(x > 0\), \(x \ne 1\), \(y > 0\), \(y \ne 1\). При этих условиях выражения \(3x + 2y\) и \(2x + 3y\) положительны, и система равносильна системе \[\begin{cases} 3x + 2y = x^2, \\ 2x + 3y = y^2. \end{cases}\]

Вычтем из первого уравнения второе: \(x - y = x^2 - y^2\); \((x - y)(1 - x - y) = 0\). Значит, \(x = y\) или \(x + y = 1\).

Если \(x = y\), то первое уравнение даёт \(5x = x^2\); \(x = 5\) (значение \(x = 0\) области определения не принадлежит). Получаем пару \((5;\ 5)\), оба основания отличны от единицы.

Если \(x + y = 1\), то \(y = 1 - x\), причём из условий \(x > 0\) и \(y > 0\) следует \(0 < x < 1\). Первое уравнение даёт \(3x + 2(1 - x) = x^2\); \(x^2 - x - 2 = 0\); \(x = -1\) или \(x = 2\). Ни одно из этих чисел промежутку \((0;\ 1)\) не принадлежит, поэтому решений в этом случае нет.

4) Область определения системы задаётся условиями \(y > 0\), \(x + y > 0\) (выражение \(x^2 - xy + y^2\) при этих условиях положительно).

Второе уравнение равносильно уравнению \(\log_2 \left((x + y)(x^2 - xy + y^2)\right) = 1\), то есть \(x^3 + y^3 = 2\).

Первое уравнение запишем в виде \(\log_2 \frac{4}{y} = \log_2 (x + y)^2\). Отсюда \(y(x + y)^2 = 4\).

Значит, \(y(x + y)^2 = 2(x^3 + y^3)\), то есть \(y(x + y)^2 = 2(x + y)(x^2 - xy + y^2)\). Разделив обе части на положительное число \(x + y\), получаем \[xy + y^2 = 2x^2 - 2xy + 2y^2; \qquad 2x^2 - 3xy + y^2 = 0; \qquad (2x - y)(x - y) = 0.\]

Если \(y = x\), то \(2x^3 = 2\); \(x = 1\), \(y = 1\).

Если \(y = 2x\), то \(x^3 + 8x^3 = 2\); \(x^3 = \frac{2}{9} = \frac{6}{27}\); \(x = \frac{\sqrt[3]{6}}{3}\), \(y = \frac{2\sqrt[3]{6}}{3}\).

Обе пары удовлетворяют условиям \(y > 0\) и \(x + y > 0\).

5) Область определения системы задаётся условием \(x + y > 0\).

Обе части первого уравнения положительны, поэтому его можно логарифмировать по основанию 5: \[\log_5 (x + y) + (y - x)\log_5 3 = \log_5 \frac{5}{27} = 1 - 3\log_5 3.\]

Пусть \(\log_5 (x + y) = m\). Второе уравнение даёт \(x - y = 3m\), поэтому \(y - x = -3m\), и предыдущее равенство принимает вид \[m - 3m\log_5 3 = 1 - 3\log_5 3; \qquad m(1 - 3\log_5 3) = 1 - 3\log_5 3.\]

Так как \(3\log_5 3 = \log_5 27 \ne \log_5 5 = 1\), множитель \(1 - 3\log_5 3\) отличен от нуля, и \(m = 1\).

Значит, \(\log_5 (x + y) = 1\); \(x + y = 5\), а \(x - y = 3 \cdot 1 = 3\). Отсюда \(x = 4\), \(y = 1\).

Ответ: 1) \((1{,}5;\ 2)\); 2) \(\left(\frac{1}{2};\ \frac{1}{8}\right)\), \((8;\ 2)\); 3) \((5;\ 5)\); 4) \(\left(\frac{\sqrt[3]{6}}{3};\ \frac{2\sqrt[3]{6}}{3}\right)\), \((1;\ 1)\); 5) \((4;\ 1)\).