Страница 55 номер 6.11, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Решите уравнение: 1) \(\frac{1}{2}\log_{6}(5x + 1) = \log_{6}(x - 1)\); 2) \(\log_{5}(25^{x} - 2 \cdot 5^{x}) = 2\log_{25} 15\); 3) \(\log_{\sqrt{5}}(16^{x} - 6) = 2 + \log_{\sqrt{5}}(4^{x} - 2)\); 4) \(x\lg 3 - 1 = 2\lg 3 - \lg(3^{x} + 1)\).
1) При \(5x + 1 > 0\) верно равенство \(\frac{1}{2}\log_{6}(5x + 1) = \log_{6} \sqrt{5x + 1}\), поэтому уравнение равносильно системе \[\begin{cases} \sqrt{5x + 1} = x - 1, \\ x - 1 > 0. \end{cases}\]
Обе части уравнения системы неотрицательны, возводим его в квадрат: \(5x + 1 = x^{2} - 2x + 1\); \(x^{2} - 7x = 0\); \(x(x - 7) = 0\); \(x = 0\) или \(x = 7\). Условию \(x > 1\) удовлетворяет только 7.
2) \(\log_{25} 15 = \frac{\log_{5} 15}{\log_{5} 25} = \frac{1}{2}\log_{5} 15\), поэтому \(2\log_{25} 15 = \log_{5} 15\), и уравнение \(\log_{5}(25^{x} - 2 \cdot 5^{x}) = \log_{5} 15\) равносильно уравнению \(25^{x} - 2 \cdot 5^{x} = 15\) (число 15 положительно).
Пусть \(5^{x} = t\), где \(t > 0\); тогда \(25^{x} = t^{2}\) и \[t^{2} - 2t - 15 = 0.\]
Отсюда \(t = -3\) или \(t = 5\). Условию \(t > 0\) удовлетворяет только \(t = 5\), поэтому \(5^{x} = 5\); \(x = 1\).
3) Так как \(2 = \log_{\sqrt{5}} \left(\sqrt{5}\right)^{2} = \log_{\sqrt{5}} 5\), правая часть равна \(\log_{\sqrt{5}} 5 + \log_{\sqrt{5}}(4^{x} - 2) = \log_{\sqrt{5}}\left(5\left(4^{x} - 2\right)\right)\), и уравнение равносильно системе \[\begin{cases} 16^{x} - 6 = 5\left(4^{x} - 2\right), \\ 4^{x} - 2 > 0. \end{cases}\]
Пусть \(4^{x} = t\); тогда \(16^{x} = t^{2}\), и уравнение системы принимает вид \(t^{2} - 6 = 5t - 10\); \(t^{2} - 5t + 4 = 0\); \(t = 1\) или \(t = 4\). Неравенство системы означает \(t > 2\), ему удовлетворяет только \(t = 4\), поэтому \(4^{x} = 4\); \(x = 1\).
4) \(x\lg 3 + \lg(3^{x} + 1) = 2\lg 3 + 1\). Так как \(x\lg 3 = \lg 3^{x}\), \(2\lg 3 = \lg 9\) и \(1 = \lg 10\), получаем \[\lg\left(3^{x}\left(3^{x} + 1\right)\right) = \lg 90.\]
Выражения \(3^{x}\) и \(3^{x} + 1\) положительны при любом \(x\), поэтому \(3^{x}\left(3^{x} + 1\right) = 90\). Пусть \(3^{x} = t\), где \(t > 0\); тогда \(t^{2} + t - 90 = 0\); \(t = -10\) или \(t = 9\). Условию \(t > 0\) удовлетворяет только \(t = 9\), поэтому \(3^{x} = 9\); \(x = 2\).
Ответ: 1) 7; 2) 1; 3) 1; 4) 2.
Решите уравнение: 1) \(\frac{1}{2}\log_{6}(5x + 1) = \log_{6}(x - 1)\); 2) \(\log_{5}(25^{x} - 2 \cdot 5^{x}) = 2\log_{25} 15\); 3) \(\log_{\sqrt{5}}(16^{x} - 6) = 2 + \log_{\sqrt{5}}(4^{x} - 2)\); 4) \(x\lg 3 - 1 = 2\lg 3 - \lg(3^{x} + 1)\).
1) На области определения уравнения \(5x + 1 > 0\), и там \(\frac{1}{2}\log_{6}(5x + 1) = \log_{6} \sqrt{5x + 1}\). Уравнение принимает вид \(\log_{6} \sqrt{5x + 1} = \log_{6}(x - 1)\) и равносильно системе \[\begin{cases} \sqrt{5x + 1} = x - 1, \\ x - 1 > 0. \end{cases}\]
Обе части уравнения системы неотрицательны, поэтому его можно возвести в квадрат: \(5x + 1 = x^{2} - 2x + 1\); \(x^{2} - 7x = 0\); \(x(x - 7) = 0\); \(x = 0\) или \(x = 7\). Условию \(x > 1\) удовлетворяет только 7.
2) Перейдём в правой части к основанию 5: \(\log_{25} 15 = \frac{\log_{5} 15}{\log_{5} 25} = \frac{1}{2}\log_{5} 15\), поэтому \(2\log_{25} 15 = \log_{5} 15\). Уравнение принимает вид \(\log_{5}(25^{x} - 2 \cdot 5^{x}) = \log_{5} 15\) и равносильно уравнению \(25^{x} - 2 \cdot 5^{x} = 15\): число 15 положительно, и условие положительности выполняется само собой.
Пусть \(5^{x} = t\), где \(t > 0\). Так как \(25^{x} = \left(5^{x}\right)^{2} = t^{2}\), получаем \[t^{2} - 2t - 15 = 0.\]
Отсюда \(t = -3\) или \(t = 5\). Условию \(t > 0\) удовлетворяет только \(t = 5\), поэтому \(5^{x} = 5\); \(x = 1\).
3) Запишем число 2 логарифмом по основанию \(\sqrt{5}\): \(2 = \log_{\sqrt{5}} \left(\sqrt{5}\right)^{2} = \log_{\sqrt{5}} 5\). Тогда правая часть равна \(\log_{\sqrt{5}} 5 + \log_{\sqrt{5}}(4^{x} - 2) = \log_{\sqrt{5}}\left(5\left(4^{x} - 2\right)\right)\), и уравнение равносильно системе \[\begin{cases} 16^{x} - 6 = 5\left(4^{x} - 2\right), \\ 4^{x} - 2 > 0. \end{cases}\]
Пусть \(4^{x} = t\). Так как \(16^{x} = \left(4^{x}\right)^{2} = t^{2}\), уравнение системы принимает вид \(t^{2} - 6 = 5t - 10\); \(t^{2} - 5t + 4 = 0\); \(t = 1\) или \(t = 4\). Неравенство системы означает \(t > 2\), ему удовлетворяет только \(t = 4\), поэтому \(4^{x} = 4\); \(x = 1\).
4) Перенесём слагаемые с логарифмами в одну часть: \(x\lg 3 + \lg(3^{x} + 1) = 2\lg 3 + 1\). Так как \(x\lg 3 = \lg 3^{x}\), \(2\lg 3 = \lg 9\) и \(1 = \lg 10\), получаем \[\lg\left(3^{x}\left(3^{x} + 1\right)\right) = \lg 90.\]
Выражения \(3^{x}\) и \(3^{x} + 1\) положительны при любом \(x\), поэтому уравнение равносильно уравнению \(3^{x}\left(3^{x} + 1\right) = 90\). Пусть \(3^{x} = t\), где \(t > 0\). Тогда \(t^{2} + t - 90 = 0\); \(t = -10\) или \(t = 9\). Условию \(t > 0\) удовлетворяет только \(t = 9\), поэтому \(3^{x} = 9\); \(x = 2\).
Ответ: 1) 7; 2) 1; 3) 1; 4) 2.
