Страница 46 номер 5.28, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Решите графически уравнение: 1) \(\log_{\frac{1}{2}} x = x + \frac{1}{2}\); 2) \(\log_{3} x = 4 - x\).
Корни уравнения — абсциссы общих точек графиков его левой и правой частей.
1) Уравнение имеет смысл при \(x > 0\). Строим графики \(y = \log_{\frac{1}{2}} x\) и \(y = x + \frac{1}{2}\); прямая проходит через точки \(\left(0;\ \frac{1}{2}\right)\) и \(\left(-\frac{1}{2};\ 0\right)\).
Графики пересекаются в точке \(\left(\frac{1}{2};\ 1\right)\). Проверка: \(\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} = 1\) и \(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1\), значит, число \(\frac{1}{2}\) — корень уравнения. Функция \(y = \log_{\frac{1}{2}} x\) убывающая, а функция \(y = x + \frac{1}{2}\) возрастающая, поэтому общих точек не более одной: других корней нет.
2) Уравнение имеет смысл при \(x > 0\). Строим графики \(y = \log_{3} x\) и \(y = 4 - x\); прямая проходит через точки \((0;\ 4)\) и \((4;\ 0)\).
Графики пересекаются в точке \((3;\ 1)\). Проверка: \(\log_{3} 3 = 1\) и \(4 - 3 = 1\), значит, число 3 — корень уравнения. Функция \(y = \log_{3} x\) возрастающая, а функция \(y = 4 - x\) убывающая, поэтому общих точек не более одной: других корней нет.
Ответ: 1) \(\frac{1}{2}\); 2) 3.
Решите графически уравнение: 1) \(\log_{\frac{1}{2}} x = x + \frac{1}{2}\); 2) \(\log_{3} x = 4 - x\).
Корни уравнения — это абсциссы общих точек графиков функций, записанных в его левой и правой частях.
1) Уравнение \(\log_{\frac{1}{2}} x = x + \frac{1}{2}\) имеет смысл при \(x > 0\). Построим в одной системе координат графики функций \(y = \log_{\frac{1}{2}} x\) и \(y = x + \frac{1}{2}\); прямая проходит через точки \(\left(0;\ \frac{1}{2}\right)\) и \(\left(-\frac{1}{2};\ 0\right)\).
Графики пересекаются в точке \(\left(\frac{1}{2};\ 1\right)\). Проверка: \(\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} = 1\) и \(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1\), равенство верно, поэтому число \(\frac{1}{2}\) — корень уравнения. Функция \(y = \log_{\frac{1}{2}} x\) убывающая, а функция \(y = x + \frac{1}{2}\) возрастающая, поэтому общих точек у графиков не более одной. Значит, других корней уравнение не имеет.
2) Уравнение \(\log_{3} x = 4 - x\) имеет смысл при \(x > 0\). Построим в одной системе координат графики функций \(y = \log_{3} x\) и \(y = 4 - x\); прямая проходит через точки \((0;\ 4)\) и \((4;\ 0)\).
Графики пересекаются в точке \((3;\ 1)\). Проверка: \(\log_{3} 3 = 1\) и \(4 - 3 = 1\), равенство верно, поэтому число 3 — корень уравнения. Функция \(y = \log_{3} x\) возрастающая, а функция \(y = 4 - x\) убывающая, поэтому общих точек у графиков не более одной. Значит, других корней уравнение не имеет.
Ответ: 1) \(\frac{1}{2}\); 2) 3.
