Страница 54 номер 6.4, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Решите уравнение: 1) \(\log_{9}(4x - 6) = \log_{9}(x - 2)\); 2) \(\log_{\frac{1}{4}}(x + 7) = \log_{\frac{1}{4}}(x^2 + 5)\).
1) Уравнение равносильно системе \[\begin{cases} 4x - 6 = x - 2, \\ x - 2 > 0. \end{cases}\]
\(3x = 4\); \(x = \frac{4}{3}\); условие \(x - 2 > 0\) не выполняется, поэтому корней нет.
2) Условие положительности удобнее взять у выражения \(x^{2} + 5\): оно положительно при всех значениях \(x\). Уравнение равносильно системе \[\begin{cases} x + 7 = x^{2} + 5, \\ x^{2} + 5 > 0. \end{cases}\]
\(x^{2} - x - 2 = 0\); \(x = -1\) или \(x = 2\); оба числа — корни уравнения.
Ответ: 1) корней нет; 2) \(-1\); 2.
Решите уравнение: 1) \(\log_{9}(4x - 6) = \log_{9}(x - 2)\); 2) \(\log_{\frac{1}{4}}(x + 7) = \log_{\frac{1}{4}}(x^2 + 5)\).
1) Данное уравнение равносильно системе \[\begin{cases} 4x - 6 = x - 2, \\ x - 2 > 0. \end{cases}\]
Из уравнения \(3x = 4\) получаем \(x = \frac{4}{3}\). Неравенство \(x - 2 > 0\) при \(x = \frac{4}{3}\) не выполняется, поэтому система решений не имеет.
2) Условие положительности удобнее взять у выражения \(x^{2} + 5\): оно положительно при всех значениях \(x\). Данное уравнение равносильно системе \[\begin{cases} x + 7 = x^{2} + 5, \\ x^{2} + 5 > 0. \end{cases}\]
Из уравнения \(x^{2} - x - 2 = 0\) получаем \(x = -1\) или \(x = 2\). Неравенство \(x^{2} + 5 > 0\) выполняется при каждом из этих чисел, значит, оба они — корни уравнения.
Ответ: 1) корней нет; 2) \(-1\); 2.
