Страница 58 номер 6.30, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Докажите, что при \(x > 0\), \(y > 0\), \(a > 0\) и \(a \ne 1\) выполняется равенство \(x^{\log_{a} y} = y^{\log_{a} x}\).
Обе части равенства положительны — это степени положительных чисел, поэтому достаточно доказать равенство их логарифмов по основанию \(a\).
\[\log_a x^{\log_a y} = \log_a y \cdot \log_a x, \qquad \log_a y^{\log_a x} = \log_a x \cdot \log_a y.\]
Правые части отличаются лишь порядком множителей, значит, равны и левые: \(\log_a x^{\log_a y} = \log_a y^{\log_a x}\). А у положительных чисел с равными логарифмами по одному основанию равны и сами числа: \(x^{\log_a y} = y^{\log_a x}\).
Ответ: равенство \(x^{\log_a y} = y^{\log_a x}\) доказано при \(x > 0\), \(y > 0\), \(a > 0\) и \(a \ne 1\).
Докажите, что при \(x > 0\), \(y > 0\), \(a > 0\) и \(a \ne 1\) выполняется равенство \(x^{\log_{a} y} = y^{\log_{a} x}\).
Пусть \(x > 0\), \(y > 0\), \(a > 0\) и \(a \ne 1\). Обе части равенства \(x^{\log_a y} = y^{\log_a x}\) — степени положительных чисел, поэтому сами эти части положительны, и достаточно доказать, что равны их логарифмы по основанию \(a\): если логарифмы двух положительных чисел по одному и тому же основанию равны, то равны и сами числа.
Логарифм степени равен произведению показателя на логарифм основания степени, поэтому \[\log_a x^{\log_a y} = \log_a y \cdot \log_a x, \qquad \log_a y^{\log_a x} = \log_a x \cdot \log_a y.\]
Правые части этих равенств отличаются лишь порядком множителей, значит, они равны. Тогда равны и левые части: \[\log_a x^{\log_a y} = \log_a y^{\log_a x}.\]
Числа \(x^{\log_a y}\) и \(y^{\log_a x}\) положительны, а их логарифмы по основанию \(a\) равны, поэтому равны и сами числа: \(x^{\log_a y} = y^{\log_a x}\).
Ответ: равенство \(x^{\log_a y} = y^{\log_a x}\) доказано при \(x > 0\), \(y > 0\), \(a > 0\) и \(a \ne 1\).
