Страница 47 номер 5.34, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
1) Выражение \(x^{2} + 1\) положительно при всех \(x\), а знаменатель дроби не равен нулю, поэтому \(\lg(x^{2} + 1) \ne 0\), то есть \(x^{2} + 1 \ne 1\), откуда \(x \ne 0\). Значит, \(D(y) = (-\infty;\ 0) \cup (0;\ +\infty)\).
2) \(1 + \sin x > 0\), то есть \(\sin x > -1\). Для любого \(x\) выполняется \(\sin x \geqslant -1\), а равенство достигается при \(x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\). Отсюда \(D(y)\) — все действительные числа, кроме чисел вида \(-\frac{\pi}{2} + 2\pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\).
3) Подкоренное выражение неотрицательно: \(\lg(1 + x^{2}) \geqslant 0\), причём \(1 + x^{2} > 0\) при всех \(x\) и логарифм определён. Основание больше единицы, поэтому условие равносильно неравенству \(1 + x^{2} \geqslant 1\), то есть \(x^{2} \geqslant 0\), а это верно при всех значениях переменной. Значит, \(D(y) = \mathbf{R}\).
4) Подкоренное выражение неотрицательно: \(\lg\sin x \geqslant 0\). Основание больше единицы, поэтому условие равносильно неравенству \(\sin x \geqslant 1\). Для любого \(x\) выполняется \(\sin x \leqslant 1\), поэтому остаётся \(\sin x = 1\), откуда \(x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\). Отсюда \(D(y)\) — все числа вида \(\frac{\pi}{2} + 2\pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\).
5) Выражения под знаками логарифмов положительны, знаменатель дроби не равен нулю: \(\begin{cases} x + 8 > 0, \\ -x - 1 > 0, \\ -x - 1 \ne 1; \end{cases}\) \(\begin{cases} x > -8, \\ x < -1, \\ x \ne -2. \end{cases}\) Отсюда \(D(y) = (-8;\ -2) \cup (-2;\ -1)\).
6) Выражения под знаками логарифмов положительны, знаменатель дроби не равен нулю: \(\begin{cases} 10x - x^{2} > 0, \\ 8 - x > 0, \\ 8 - x \ne 1. \end{cases}\) Из первого неравенства \(x(10 - x) > 0\), то есть \(0 < x < 10\); из второго \(x < 8\); из третьего \(x \ne 7\). Отсюда \(D(y) = (0;\ 7) \cup (7;\ 8)\).
7) Логарифм определён, знаменатель дроби не равен нулю: \(\begin{cases} 4 - x^{2} > 0, \\ 4 - x^{2} \ne 1. \end{cases}\) Из первого неравенства \(x^{2} < 4\), то есть \(-2 < x < 2\); из второго \(x^{2} \ne 3\), то есть \(x \ne -\sqrt{3}\) и \(x \ne \sqrt{3}\), причём обе выколотые точки лежат внутри промежутка \((-2;\ 2)\). Отсюда \(D(y) = (-2;\ -\sqrt{3}) \cup (-\sqrt{3};\ \sqrt{3}) \cup (\sqrt{3};\ 2)\).
8) Выражения под знаками логарифмов положительны, знаменатель дроби не равен нулю: \(\begin{cases} 9x - x^{2} > 0, \\ 5 - x > 0, \\ 5 - x \ne 1. \end{cases}\) Из первого неравенства \(x(9 - x) > 0\), то есть \(0 < x < 9\); из второго \(x < 5\); из третьего \(x \ne 4\). Отсюда \(D(y) = (0;\ 4) \cup (4;\ 5)\).
9) Основание логарифма переменное, поэтому оно положительно и отлично от единицы, а выражение под знаком логарифма положительно: \(\begin{cases} 2 - x > 0, \\ 2 - x \ne 1, \\ 8 + 7x - x^{2} > 0. \end{cases}\) Из первого условия \(x < 2\), из второго \(x \ne 1\). Третье неравенство умножим на \(-1\), поменяв знак на противоположный: \(x^{2} - 7x - 8 < 0\), то есть \((x + 1)(x - 8) < 0\), откуда \(-1 < x < 8\). Значит, \(D(y) = (-1;\ 1) \cup (1;\ 2)\).
10) Выражение \(x^{2} + 1\) положительно при всех \(x\), а знаменатель не равен нулю, поэтому \(x^{2} + 1 \ne 1\), откуда \(x \ne 0\). При \(x \ne 0\) имеем \(x^{2} + 1 > 1\), поэтому \(\lg(x^{2} + 1) > 0\) и знак дроби совпадает со знаком её числителя. Подкоренное выражение неотрицательно: \((x + 5)(2 - x) \geqslant 0\), откуда \(-5 \leqslant x \leqslant 2\). Вместе с условием \(x \ne 0\) получаем \(D(y) = [-5;\ 0) \cup (0;\ 2]\).
Ответ: 1) \((-\infty;\ 0) \cup (0;\ +\infty)\); 2) все действительные числа, кроме чисел вида \(-\frac{\pi}{2} + 2\pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\); 3) \(\mathbf{R}\); 4) все числа вида \(\frac{\pi}{2} + 2\pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\); 5) \((-8;\ -2) \cup (-2;\ -1)\); 6) \((0;\ 7) \cup (7;\ 8)\); 7) \((-2;\ -\sqrt{3}) \cup (-\sqrt{3};\ \sqrt{3}) \cup (\sqrt{3};\ 2)\); 8) \((0;\ 4) \cup (4;\ 5)\); 9) \((-1;\ 1) \cup (1;\ 2)\); 10) \([-5;\ 0) \cup (0;\ 2]\).
1) Выражение \(x^{2} + 1\) положительно при всех \(x\), а знаменатель дроби не равен нулю, поэтому \(\lg(x^{2} + 1) \ne 0\), то есть \(x^{2} + 1 \ne 1\), откуда \(x \ne 0\).
Отсюда \(D(y) = (-\infty;\ 0) \cup (0;\ +\infty)\).
2) Выражение под знаком логарифма должно быть положительным: \(1 + \sin x > 0\), то есть \(\sin x > -1\). Для любого \(x\) выполняется неравенство \(\sin x \geqslant -1\), а равенство \(\sin x = -1\) достигается при \(x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\).
Отсюда \(D(y)\) — все действительные числа, кроме чисел вида \(-\frac{\pi}{2} + 2\pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\).
3) Подкоренное выражение неотрицательно: \(\lg(1 + x^{2}) \geqslant 0\). Выражение \(1 + x^{2}\) положительно при всех \(x\), поэтому логарифм определён. Основание десятичного логарифма больше единицы, поэтому условие \(\lg(1 + x^{2}) \geqslant 0\) равносильно неравенству \(1 + x^{2} \geqslant 1\), то есть \(x^{2} \geqslant 0\), а это верно при всех значениях переменной.
Отсюда \(D(y) = \mathbf{R}\).
4) Подкоренное выражение неотрицательно: \(\lg\sin x \geqslant 0\). Основание десятичного логарифма больше единицы, поэтому это условие равносильно неравенству \(\sin x \geqslant 1\). Для любого \(x\) выполняется неравенство \(\sin x \leqslant 1\), поэтому остаётся \(\sin x = 1\), откуда \(x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\).
Отсюда \(D(y)\) — все числа вида \(\frac{\pi}{2} + 2\pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\).
5) Выражение \(\lg(x + 8)\) имеет смысл при \(x + 8 > 0\), выражение \(\lg(-x - 1)\) — при \(-x - 1 > 0\); знаменатель дроби не равен нулю, поэтому \(\lg(-x - 1) \ne 0\), то есть \(-x - 1 \ne 1\). Область определения — множество решений системы \(\begin{cases} x + 8 > 0, \\ -x - 1 > 0, \\ -x - 1 \ne 1; \end{cases}\) \(\begin{cases} x > -8, \\ x < -1, \\ x \ne -2. \end{cases}\)
Отсюда \(D(y) = (-8;\ -2) \cup (-2;\ -1)\).
6) Оба логарифма имеют смысл, когда выражения под их знаками положительны; кроме того, знаменатель дроби не равен нулю, поэтому \(\lg(8 - x) \ne 0\), то есть \(8 - x \ne 1\). Область определения — множество решений системы \(\begin{cases} 10x - x^{2} > 0, \\ 8 - x > 0, \\ 8 - x \ne 1. \end{cases}\)
Из первого неравенства \(x(10 - x) > 0\), то есть \(0 < x < 10\); из второго \(x < 8\); из третьего \(x \ne 7\).
Отсюда \(D(y) = (0;\ 7) \cup (7;\ 8)\).
7) Выражение \(\lg(4 - x^{2})\) имеет смысл при \(4 - x^{2} > 0\); знаменатель дроби не равен нулю, поэтому \(\lg(4 - x^{2}) \ne 0\), то есть \(4 - x^{2} \ne 1\). Область определения — множество решений системы \(\begin{cases} 4 - x^{2} > 0, \\ 4 - x^{2} \ne 1. \end{cases}\)
Из первого неравенства \(x^{2} < 4\), то есть \(-2 < x < 2\); из второго \(x^{2} \ne 3\), то есть \(x \ne -\sqrt{3}\) и \(x \ne \sqrt{3}\). Обе выколотые точки лежат внутри промежутка \((-2;\ 2)\).
Отсюда \(D(y) = (-2;\ -\sqrt{3}) \cup (-\sqrt{3};\ \sqrt{3}) \cup (\sqrt{3};\ 2)\).
8) Оба логарифма имеют смысл, когда выражения под их знаками положительны; кроме того, знаменатель дроби не равен нулю, поэтому \(\lg(5 - x) \ne 0\), то есть \(5 - x \ne 1\). Область определения — множество решений системы \(\begin{cases} 9x - x^{2} > 0, \\ 5 - x > 0, \\ 5 - x \ne 1. \end{cases}\)
Из первого неравенства \(x(9 - x) > 0\), то есть \(0 < x < 9\); из второго \(x < 5\); из третьего \(x \ne 4\).
Отсюда \(D(y) = (0;\ 4) \cup (4;\ 5)\).
9) Основание логарифма переменное, поэтому оно должно быть положительным и отличным от единицы, а выражение под знаком логарифма — положительным: \(\begin{cases} 2 - x > 0, \\ 2 - x \ne 1, \\ 8 + 7x - x^{2} > 0. \end{cases}\)
Из первого условия \(x < 2\), из второго \(x \ne 1\). Третье неравенство умножим на \(-1\): \(x^{2} - 7x - 8 < 0\), то есть \((x + 1)(x - 8) < 0\), отсюда \(-1 < x < 8\).
Отсюда \(D(y) = (-1;\ 1) \cup (1;\ 2)\).
10) Выражение \(x^{2} + 1\) положительно при всех \(x\), а знаменатель дроби не равен нулю, поэтому \(x^{2} + 1 \ne 1\), откуда \(x \ne 0\). При \(x \ne 0\) имеем \(x^{2} + 1 > 1\), поэтому \(\lg(x^{2} + 1) > 0\) и знак всей дроби совпадает со знаком её числителя. Подкоренное выражение неотрицательно, значит, \((x + 5)(2 - x) \geqslant 0\), откуда \(-5 \leqslant x \leqslant 2\). Вместе с условием \(x \ne 0\) получаем два промежутка.
Отсюда \(D(y) = [-5;\ 0) \cup (0;\ 2]\).
Ответ: 1) \((-\infty;\ 0) \cup (0;\ +\infty)\); 2) все действительные числа, кроме чисел вида \(-\frac{\pi}{2} + 2\pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\); 3) \(\mathbf{R}\); 4) все числа вида \(\frac{\pi}{2} + 2\pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\); 5) \((-8;\ -2) \cup (-2;\ -1)\); 6) \((0;\ 7) \cup (7;\ 8)\); 7) \((-2;\ -\sqrt{3}) \cup (-\sqrt{3};\ \sqrt{3}) \cup (\sqrt{3};\ 2)\); 8) \((0;\ 4) \cup (4;\ 5)\); 9) \((-1;\ 1) \cup (1;\ 2)\); 10) \([-5;\ 0) \cup (0;\ 2]\).
