Страница 58 номер 6.26, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Решите уравнение: 1) \(x^{\log_{3} x} = 81\); 2) \(x^{\lg x} = 100x\); 3) \(x^{\log_{2} x - 2} = 256\); 4) \((\sqrt[3]{x})^{\lg x} = 10^{6 + \lg x}\).
1) ОДЗ: \(x > 0\); при таких значениях \(x\) обе части уравнения положительны, поэтому уравнение равносильно уравнению \(\log_3 x^{\log_3 x} = \log_3 81\), то есть \(\log_3 x \cdot \log_3 x = 4\).
Пусть \(\log_3 x = t\); тогда \(t^2 = 4\); \(t = -2\) или \(t = 2\), откуда \(\left[\begin{array}{l} \log_3 x = -2, \\ \log_3 x = 2; \end{array}\right.\) \(\left[\begin{array}{l} x = \frac{1}{9}, \\ x = 9. \end{array}\right.\)
2) ОДЗ: \(x > 0\); при таких значениях \(x\) обе части положительны, поэтому уравнение равносильно уравнению \(\lg x^{\lg x} = \lg(100x)\), то есть \(\lg x \cdot \lg x = 2 + \lg x\).
Пусть \(\lg x = t\); тогда \(t^2 - t - 2 = 0\); \(t = -1\) или \(t = 2\), откуда \(\left[\begin{array}{l} \lg x = -1, \\ \lg x = 2; \end{array}\right.\) \(\left[\begin{array}{l} x = \frac{1}{10}, \\ x = 100. \end{array}\right.\)
3) ОДЗ: \(x > 0\); при таких значениях \(x\) обе части положительны, поэтому уравнение равносильно уравнению \(\log_2 x^{\log_2 x - 2} = \log_2 256\), то есть \((\log_2 x - 2)\log_2 x = 8\).
Пусть \(\log_2 x = t\); тогда \(t^2 - 2t - 8 = 0\); \(t = -2\) или \(t = 4\), откуда \(\left[\begin{array}{l} \log_2 x = -2, \\ \log_2 x = 4; \end{array}\right.\) \(\left[\begin{array}{l} x = \frac{1}{4}, \\ x = 16. \end{array}\right.\)
4) ОДЗ: \(x > 0\); при таких значениях \(x\) обе части положительны. Так как \(\sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}\), то \(\left(\sqrt[3]{x}\right)^{\lg x} = x^{\frac{\lg x}{3}}\), и уравнение равносильно уравнению \(\lg x^{\frac{\lg x}{3}} = \lg 10^{6 + \lg x}\), то есть \(\frac{\lg x}{3} \cdot \lg x = 6 + \lg x\).
Пусть \(\lg x = t\); тогда \(\frac{t^2}{3} = 6 + t\); \(t^2 - 3t - 18 = 0\); \(t = -3\) или \(t = 6\), откуда \(\left[\begin{array}{l} \lg x = -3, \\ \lg x = 6; \end{array}\right.\) \(\left[\begin{array}{l} x = 0{,}001, \\ x = 1\,000\,000. \end{array}\right.\)
Ответ: 1) \(\frac{1}{9}\); 9; 2) \(\frac{1}{10}\); 100; 3) \(\frac{1}{4}\); 16; 4) \(0{,}001\); \(1\,000\,000\).
Решите уравнение: 1) \(x^{\log_{3} x} = 81\); 2) \(x^{\lg x} = 100x\); 3) \(x^{\log_{2} x - 2} = 256\); 4) \((\sqrt[3]{x})^{\lg x} = 10^{6 + \lg x}\).
1) Область определения уравнения — множество \((0;\ +\infty)\), и на нём обе части уравнения принимают положительные значения, поэтому можем записать уравнение, равносильное данному: \(\log_3 x^{\log_3 x} = \log_3 81\). Отсюда \(\log_3 x \cdot \log_3 x = 4\).
Пусть \(\log_3 x = t\). Тогда \(t^2 = 4\); \(t = -2\) или \(t = 2\). Отсюда \(\left[\begin{array}{l} \log_3 x = -2, \\ \log_3 x = 2; \end{array}\right.\) \(\left[\begin{array}{l} x = \frac{1}{9}, \\ x = 9. \end{array}\right.\)
2) Область определения уравнения — множество \((0;\ +\infty)\), и на нём обе части уравнения положительны, поэтому данное уравнение равносильно уравнению \(\lg x^{\lg x} = \lg(100x)\). Отсюда \(\lg x \cdot \lg x = 2 + \lg x\).
Пусть \(\lg x = t\). Тогда \(t^2 - t - 2 = 0\); \(t = -1\) или \(t = 2\). Отсюда \(\left[\begin{array}{l} \lg x = -1, \\ \lg x = 2; \end{array}\right.\) \(\left[\begin{array}{l} x = \frac{1}{10}, \\ x = 100. \end{array}\right.\)
3) Область определения уравнения — множество \((0;\ +\infty)\), и на нём обе части уравнения положительны, поэтому данное уравнение равносильно уравнению \(\log_2 x^{\log_2 x - 2} = \log_2 256\). Отсюда \((\log_2 x - 2)\log_2 x = 8\).
Пусть \(\log_2 x = t\). Тогда \(t^2 - 2t - 8 = 0\); \(t = -2\) или \(t = 4\). Отсюда \(\left[\begin{array}{l} \log_2 x = -2, \\ \log_2 x = 4; \end{array}\right.\) \(\left[\begin{array}{l} x = \frac{1}{4}, \\ x = 16. \end{array}\right.\)
4) Область определения уравнения — множество \((0;\ +\infty)\), и на нём обе части уравнения положительны. Так как \(\sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}\), то \(\left(\sqrt[3]{x}\right)^{\lg x} = x^{\frac{\lg x}{3}}\), и данное уравнение равносильно уравнению \(\lg x^{\frac{\lg x}{3}} = \lg 10^{6 + \lg x}\). Отсюда \(\frac{\lg x}{3} \cdot \lg x = 6 + \lg x\).
Пусть \(\lg x = t\). Тогда \(\frac{t^2}{3} = 6 + t\); \(t^2 - 3t - 18 = 0\); \(t = -3\) или \(t = 6\). Отсюда \(\left[\begin{array}{l} \lg x = -3, \\ \lg x = 6; \end{array}\right.\) \(\left[\begin{array}{l} x = 0{,}001, \\ x = 1\,000\,000. \end{array}\right.\)
Ответ: 1) \(\frac{1}{9}\); 9; 2) \(\frac{1}{10}\); 100; 3) \(\frac{1}{4}\); 16; 4) \(0{,}001\); \(1\,000\,000\).
