Страница 55 номер 6.5, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
1) ОДЗ: \(\sqrt{x} > 0\) и \(\frac{1}{x} > 0\), то есть \(x > 0\). Тогда \(\log_{2} \sqrt{x} = \frac{1}{2}\log_{2} x\), \(\log_{2} \frac{1}{x} = -\log_{2} x\), и \[\frac{1}{2}\log_{2} x + \log_{2} x = 6; \qquad \frac{3}{2}\log_{2} x = 6.\]
\(\log_{2} x = 4\); \(x = 2^{4} = 16\).
2) ОДЗ: \(x > 0\). Перейдём к логарифмам по основанию 2: \(\log_{4} x = \frac{\log_{2} x}{\log_{2} 4} = \frac{1}{2}\log_{2} x\), \(\log_{8} x = \frac{\log_{2} x}{\log_{2} 8} = \frac{1}{3}\log_{2} x\), и \[\log_{2} x + \frac{1}{2}\log_{2} x + \frac{1}{3}\log_{2} x = 11; \qquad \frac{11}{6}\log_{2} x = 11.\]
\(\log_{2} x = 6\); \(x = 2^{6} = 64\).
3) ОДЗ: \(x > 0\). Перейдём к логарифмам по основанию 6: \(\log_{36} x = \frac{\log_{6} x}{\log_{6} 36} = \frac{1}{2}\log_{6} x\), \(\log_{216} x = \frac{\log_{6} x}{\log_{6} 216} = \frac{1}{3}\log_{6} x\), и \[\log_{6} x + 2 \cdot \frac{1}{2}\log_{6} x + 3 \cdot \frac{1}{3}\log_{6} x = 3; \qquad 3\log_{6} x = 3.\]
\(\log_{6} x = 1\); \(x = 6\).
4) \(\log_{4}(x - 2) = 7^{0}\), то есть \(\log_{4}(x - 2) = 1\); \(x - 2 = 4^{1}\); \(x = 6\).
5) Раскрываем логарифмы по одному, снаружи внутрь: \(\log_{3} \log_{2} x = 4^{\frac{1}{2}}\), то есть \(\log_{3} \log_{2} x = 2\); затем \(\log_{2} x = 3^{2} = 9\); наконец, \(x = 2^{9} = 512\).
Ответ: 1) 16; 2) 64; 3) 6; 4) 6; 5) 512.
1) Под знаками логарифмов стоят выражения \(\sqrt{x}\) и \(\frac{1}{x}\), каждое из них положительно только при \(x > 0\), поэтому область определения уравнения — промежуток \((0;\ +\infty)\). На этом промежутке \(\log_{2} \sqrt{x} = \frac{1}{2}\log_{2} x\) и \(\log_{2} \frac{1}{x} = -\log_{2} x\), поэтому уравнение принимает вид \[\frac{1}{2}\log_{2} x + \log_{2} x = 6; \qquad \frac{3}{2}\log_{2} x = 6.\]
Отсюда \(\log_{2} x = 4\); \(x = 2^{4} = 16\).
2) Область определения уравнения — промежуток \((0;\ +\infty)\). Перейдём к логарифмам по основанию 2: \(\log_{4} x = \frac{\log_{2} x}{\log_{2} 4} = \frac{1}{2}\log_{2} x\), \(\log_{8} x = \frac{\log_{2} x}{\log_{2} 8} = \frac{1}{3}\log_{2} x\). Уравнение принимает вид \[\log_{2} x + \frac{1}{2}\log_{2} x + \frac{1}{3}\log_{2} x = 11; \qquad \frac{11}{6}\log_{2} x = 11.\]
Отсюда \(\log_{2} x = 6\); \(x = 2^{6} = 64\).
3) Область определения уравнения — промежуток \((0;\ +\infty)\). Перейдём к логарифмам по основанию 6: \(\log_{36} x = \frac{\log_{6} x}{\log_{6} 36} = \frac{1}{2}\log_{6} x\), \(\log_{216} x = \frac{\log_{6} x}{\log_{6} 216} = \frac{1}{3}\log_{6} x\). Уравнение принимает вид \[\log_{6} x + 2 \cdot \frac{1}{2}\log_{6} x + 3 \cdot \frac{1}{3}\log_{6} x = 3; \qquad 3\log_{6} x = 3.\]
Отсюда \(\log_{6} x = 1\); \(x = 6\).
4) Внешний логарифм равен нулю, поэтому по определению логарифма \(\log_{4}(x - 2) = 7^{0}\), то есть \(\log_{4}(x - 2) = 1\). Отсюда \(x - 2 = 4^{1}\); \(x = 6\).
5) Раскрываем логарифмы по одному, снаружи внутрь: \(\log_{3} \log_{2} x = 4^{\frac{1}{2}}\), то есть \(\log_{3} \log_{2} x = 2\); затем \(\log_{2} x = 3^{2} = 9\); наконец, \(x = 2^{9} = 512\).
Ответ: 1) 16; 2) 64; 3) 6; 4) 6; 5) 512.
