Страница 47 номер 5.29, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Определите графически количество корней уравнения: 1) \(\log_{2} x = -x\); 2) \(\log_{3} x = -x^2\); 3) \(\log_{\frac{1}{2}} x = \sqrt{x}\).
Количество корней уравнения — количество общих точек графиков его левой и правой частей.
1) Уравнение имеет смысл при \(x > 0\). Строим графики \(y = \log_{2} x\) и \(y = -x\).
Функция \(y = \log_{2} x\) возрастающая, а функция \(y = -x\) убывающая, поэтому общих точек не более одной. При \(x = \frac{1}{2}\) левая часть равна \(\log_{2} \frac{1}{2} = -1\), правая \(-\frac{1}{2}\) — кривая ниже прямой; при \(x = 1\) левая часть равна \(\log_{2} 1 = 0\), правая \(-1\) — кривая выше прямой. Обе функции непрерывны, поэтому между \(\frac{1}{2}\) и 1 графики пересекаются: общая точка ровно одна.
2) Уравнение имеет смысл при \(x > 0\). Строим графики \(y = \log_{3} x\) и \(y = -x^{2}\).
Функция \(y = \log_{3} x\) возрастающая; при \(x > 0\) функция \(y = x^{2}\) возрастающая, поэтому функция \(y = -x^{2}\) на этом промежутке убывающая, и общих точек у графиков не более одной. При \(x = \frac{1}{3}\) левая часть равна \(\log_{3} \frac{1}{3} = -1\), правая \(-\frac{1}{9}\) — кривая ниже параболы; при \(x = 1\) левая часть равна \(\log_{3} 1 = 0\), правая \(-1\) — кривая выше параболы. Обе функции непрерывны, поэтому между \(\frac{1}{3}\) и 1 графики пересекаются: общая точка ровно одна.
3) Уравнение имеет смысл при \(x > 0\). Строим графики \(y = \log_{\frac{1}{2}} x\) и \(y = \sqrt{x}\).
Функция \(y = \log_{\frac{1}{2}} x\) убывающая, так как её основание меньше единицы, а функция \(y = \sqrt{x}\) возрастающая, поэтому общих точек не более одной. При \(x = \frac{1}{4}\) левая часть равна \(\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{4} = 2\), правая \(\sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}\) — логарифмическая кривая выше графика функции \(y = \sqrt{x}\); при \(x = 1\) левая часть равна \(\log_{\frac{1}{2}} 1 = 0\), правая \(\sqrt{1} = 1\) — логарифмическая кривая ниже. Обе функции непрерывны, поэтому между \(\frac{1}{4}\) и 1 графики пересекаются: общая точка ровно одна.
Ответ: 1) 1 корень; 2) 1 корень; 3) 1 корень.
Определите графически количество корней уравнения: 1) \(\log_{2} x = -x\); 2) \(\log_{3} x = -x^2\); 3) \(\log_{\frac{1}{2}} x = \sqrt{x}\).
Количество корней уравнения — это количество общих точек графиков функций, записанных в его левой и правой частях.
1) Уравнение \(\log_{2} x = -x\) имеет смысл при \(x > 0\). Построим в одной системе координат графики функций \(y = \log_{2} x\) и \(y = -x\).
Функция \(y = \log_{2} x\) возрастающая, а функция \(y = -x\) убывающая, поэтому общих точек у графиков не более одной. При \(x = \frac{1}{2}\) левая часть уравнения равна \(\log_{2} \frac{1}{2} = -1\), а правая равна \(-\frac{1}{2}\), то есть кривая проходит ниже прямой; при \(x = 1\) левая часть равна \(\log_{2} 1 = 0\), а правая равна \(-1\), то есть кривая проходит выше прямой. Обе функции непрерывны, поэтому между \(\frac{1}{2}\) и 1 графики пересекаются. Значит, общая точка ровно одна.
2) Уравнение \(\log_{3} x = -x^{2}\) имеет смысл при \(x > 0\). Построим в одной системе координат графики функций \(y = \log_{3} x\) и \(y = -x^{2}\).
Функция \(y = \log_{3} x\) возрастающая. При \(x > 0\) функция \(y = x^{2}\) возрастающая, поэтому функция \(y = -x^{2}\) на этом промежутке убывающая. Значит, общих точек у графиков не более одной. При \(x = \frac{1}{3}\) левая часть уравнения равна \(\log_{3} \frac{1}{3} = -1\), а правая равна \(-\frac{1}{9}\), то есть кривая проходит ниже параболы; при \(x = 1\) левая часть равна \(\log_{3} 1 = 0\), а правая равна \(-1\), то есть кривая проходит выше параболы. Обе функции непрерывны, поэтому между \(\frac{1}{3}\) и 1 графики пересекаются. Значит, общая точка ровно одна.
3) Уравнение \(\log_{\frac{1}{2}} x = \sqrt{x}\) имеет смысл при \(x > 0\). Построим в одной системе координат графики функций \(y = \log_{\frac{1}{2}} x\) и \(y = \sqrt{x}\).
Функция \(y = \log_{\frac{1}{2}} x\) убывающая, так как её основание меньше единицы, а функция \(y = \sqrt{x}\) возрастающая, поэтому общих точек у графиков не более одной. При \(x = \frac{1}{4}\) левая часть уравнения равна \(\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{4} = 2\), а правая равна \(\sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}\), то есть логарифмическая кривая проходит выше графика функции \(y = \sqrt{x}\); при \(x = 1\) левая часть равна \(\log_{\frac{1}{2}} 1 = 0\), а правая равна \(\sqrt{1} = 1\), то есть логарифмическая кривая проходит ниже. Обе функции непрерывны, поэтому между \(\frac{1}{4}\) и 1 графики пересекаются. Значит, общая точка ровно одна.
Ответ: 1) 1 корень; 2) 1 корень; 3) 1 корень.
