Страница 47 номер 5.31, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Сравните \(\log_{2} 3 + \log_{3} 2\) и 2.
По формуле перехода к другому основанию \(\log_{3} 2 = \frac{\log_{2} 2}{\log_{2} 3} = \frac{1}{\log_{2} 3}\) — данные числа взаимно обратны.
Обозначим \(t = \log_{2} 3\). Функция \(y = \log_{2} x\) возрастающая, так как \(2 > 1\), поэтому из \(3 > 2\) получаем \(\log_{2} 3 > \log_{2} 2\), то есть \(t > 1\).
\[t + \frac{1}{t} - 2 = \frac{t^{2} - 2t + 1}{t} = \frac{(t - 1)^{2}}{t}.\]
При \(t > 1\) числитель и знаменатель положительны, поэтому дробь положительна. Следовательно, \(t + \frac{1}{t} > 2\), то есть \(\log_{2} 3 + \log_{3} 2 > 2\).
Ответ: \(\log_{2} 3 + \log_{3} 2 > 2\).
Сравните \(\log_{2} 3 + \log_{3} 2\) и 2.
По формуле перехода к другому основанию \(\log_{3} 2 = \frac{\log_{2} 2}{\log_{2} 3} = \frac{1}{\log_{2} 3}\), то есть данные числа взаимно обратны.
Обозначим \(t = \log_{2} 3\). Функция \(y = \log_{2} x\) возрастающая, так как \(2 > 1\), поэтому из неравенства \(3 > 2\) получаем \(\log_{2} 3 > \log_{2} 2\), то есть \(t > 1\). Значит, \(t\) положительно и не равно единице.
Сравним сумму \(t + \frac{1}{t}\) с числом 2: \[t + \frac{1}{t} - 2 = \frac{t^{2} - 2t + 1}{t} = \frac{(t - 1)^{2}}{t}.\]
При \(t > 1\) числитель положителен, знаменатель положителен, поэтому вся дробь положительна. Следовательно, \(t + \frac{1}{t} > 2\), то есть \(\log_{2} 3 + \log_{3} 2 > 2\).
Ответ: \(\log_{2} 3 + \log_{3} 2 > 2\).
