Страница 56 номер 6.16, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Решите уравнение: 1) \(\log_{\sqrt{3}}(2^{x} - 3) + \log_{\sqrt{3}}(2^{x} - 1) = 2\); 2) \(\lg(3^{x} - 4) + \lg(3^{x} - 2) = 1\).
1) Уравнение равносильно системе \[\begin{cases} \log_{\sqrt{3}}((2^x - 3)(2^x - 1)) = 2, \\ 2^x - 3 > 0, \\ 2^x - 1 > 0. \end{cases}\]
Из двух неравенств более сильное — первое, поэтому условия области определения дают \(2^x > 3\).
Пусть \(2^x = t\), где \(t > 3\); тогда \((t - 3)(t - 1) = \left(\sqrt{3}\right)^2\); \(t^2 - 4t + 3 = 3\); \(t^2 - 4t = 0\); \(t = 0\) или \(t = 4\). Условию \(t > 3\) удовлетворяет только \(t = 4\), поэтому \(2^x = 4\); \(x = 2\).
2) Уравнение равносильно системе \[\begin{cases} \lg((3^x - 4)(3^x - 2)) = 1, \\ 3^x - 4 > 0, \\ 3^x - 2 > 0. \end{cases}\]
Из двух неравенств более сильное — первое, поэтому условия области определения дают \(3^x > 4\).
Пусть \(3^x = t\), где \(t > 4\); тогда \((t - 4)(t - 2) = 10\); \(t^2 - 6t - 2 = 0\); \(t = 3 - \sqrt{11}\) или \(t = 3 + \sqrt{11}\). Число \(3 - \sqrt{11}\) отрицательно, а \(3 + \sqrt{11} > 4\), поэтому условию \(t > 4\) удовлетворяет только \(t = 3 + \sqrt{11}\). Отсюда \(3^x = 3 + \sqrt{11}\); \(x = \log_3(3 + \sqrt{11})\).
Ответ: 1) 2; 2) \(\log_3(3 + \sqrt{11})\).
Решите уравнение: 1) \(\log_{\sqrt{3}}(2^{x} - 3) + \log_{\sqrt{3}}(2^{x} - 1) = 2\); 2) \(\lg(3^{x} - 4) + \lg(3^{x} - 2) = 1\).
1) Данное уравнение равносильно системе \[\begin{cases} \log_{\sqrt{3}}((2^x - 3)(2^x - 1)) = 2, \\ 2^x - 3 > 0, \\ 2^x - 1 > 0. \end{cases}\]
Из двух неравенств системы более сильное — первое, поэтому условия области определения дают \(2^x > 3\).
Пусть \(2^x = t\), где \(t > 3\). Тогда \((t - 3)(t - 1) = \left(\sqrt{3}\right)^2\); \(t^2 - 4t + 3 = 3\); \(t^2 - 4t = 0\); \(t = 0\) или \(t = 4\). Условию \(t > 3\) удовлетворяет только \(t = 4\). Отсюда \(2^x = 4\); \(x = 2\).
2) Данное уравнение равносильно системе \[\begin{cases} \lg((3^x - 4)(3^x - 2)) = 1, \\ 3^x - 4 > 0, \\ 3^x - 2 > 0. \end{cases}\]
Из двух неравенств системы более сильное — первое, поэтому условия области определения дают \(3^x > 4\).
Пусть \(3^x = t\), где \(t > 4\). Тогда \((t - 4)(t - 2) = 10\); \(t^2 - 6t - 2 = 0\); \(t = 3 - \sqrt{11}\) или \(t = 3 + \sqrt{11}\). Число \(3 - \sqrt{11}\) отрицательно, а \(3 + \sqrt{11} > 4\), поэтому условию \(t > 4\) удовлетворяет только \(t = 3 + \sqrt{11}\). Отсюда \(3^x = 3 + \sqrt{11}\); \(x = \log_3(3 + \sqrt{11})\).
Ответ: 1) 2; 2) \(\log_3(3 + \sqrt{11})\).
