Страница 46 номер 5.24, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Найдите область определения функции: 1) \(y = \frac{5}{\lg(x + 3)}\); 2) \(y = \lg \sin x\).
1) \(\lg(x + 3)\) имеет смысл при \(x + 3 > 0\), а знаменатель дроби не равен нулю, поэтому \(x + 3 \ne 1\): \(\begin{cases} x + 3 > 0, \\ x + 3 \ne 1; \end{cases}\) \(\begin{cases} x > -3, \\ x \ne -2. \end{cases}\) Отсюда \(D(y) = (-3;\ -2) \cup (-2;\ +\infty)\).
2) Область определения — множество решений неравенства \(\sin x > 0\). Синус положителен в первой и второй четвертях, поэтому \(D(y)\) — множество чисел, для которых \(2\pi n < x < \pi + 2\pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\).
Ответ: 1) \((-3;\ -2) \cup (-2;\ +\infty)\); 2) \(2\pi n < x < \pi + 2\pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\).
Найдите область определения функции: 1) \(y = \frac{5}{\lg(x + 3)}\); 2) \(y = \lg \sin x\).
1) Выражение \(\lg(x + 3)\) имеет смысл при \(x + 3 > 0\), а знаменатель дроби не равен нулю, поэтому \(\lg(x + 3) \ne 0\), то есть \(x + 3 \ne 1\). Получаем систему \(\begin{cases} x + 3 > 0, \\ x + 3 \ne 1; \end{cases}\) \(\begin{cases} x > -3, \\ x \ne -2. \end{cases}\)
Отсюда \(D(y) = (-3;\ -2) \cup (-2;\ +\infty)\).
2) Область определения логарифмической функции — множество положительных чисел, поэтому областью определения данной функции является множество решений неравенства \(\sin x > 0\). Синус положителен в первой и второй четвертях, то есть при \(2\pi n < x < \pi + 2\pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\).
Отсюда \(D(y)\) — множество чисел, для которых \(2\pi n < x < \pi + 2\pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\).
Ответ: 1) \((-3;\ -2) \cup (-2;\ +\infty)\); 2) \(2\pi n < x < \pi + 2\pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\).
