Страница 46 номер 5.26, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Постройте график функции: 1) \(y = \log_{\frac{1}{3}}(x - 2)\); 2) \(y = \log_{\frac{1}{3}}(x + 1)\); 3) \(y = \log_{\frac{1}{3}} x - 2\); 4) \(y = \log_{\frac{1}{3}} x + 1\); 5) \(y = -\log_{\frac{1}{3}} x\); 6) \(y = \log_{\frac{1}{3}}(-x)\).
Все графики получаются из графика функции \(y = \log_{\frac{1}{3}} x\) сдвигами вдоль осей координат и симметриями; она убывающая, так как её основание \(\frac{1}{3}\) меньше единицы, её область определения — \((0;\ +\infty)\), нуль — \(x = 1\), вертикальная асимптота — ось ординат.
1) График получается сдвигом на 2 единицы вправо. \(x - 2 > 0\), то есть \(D(y) = (2;\ +\infty)\). Нуль: \(x - 2 = 1\), то есть \(x = 3\). Вместе с кривой сдвигается и асимптота — теперь это прямая \(x = 2\). Функция убывающая; кривая проходит через точки \(\left(\frac{7}{3};\ 1\right)\), \((3;\ 0)\), \((5;\ -1)\).
2) График получается сдвигом на 1 единицу влево. \(x + 1 > 0\), то есть \(D(y) = (-1;\ +\infty)\). Нуль: \(x + 1 = 1\), то есть \(x = 0\). Асимптота сдвигается вместе с кривой — это прямая \(x = -1\). Функция убывающая; кривая проходит через точки \(\left(-\frac{2}{3};\ 1\right)\), \((0;\ 0)\), \((2;\ -1)\).
3) График получается сдвигом на 2 единицы вниз. Область определения прежняя: \(D(y) = (0;\ +\infty)\). Нуль: \(\log_{\frac{1}{3}} x = 2\), то есть \(x = \left(\frac{1}{3}\right)^{2} = \frac{1}{9}\). Асимптотой остаётся ось ординат. Функция убывающая; кривая проходит через точки \(\left(\frac{1}{9};\ 0\right)\), \(\left(\frac{1}{3};\ -1\right)\), \((1;\ -2)\), \((3;\ -3)\).
4) График получается сдвигом на 1 единицу вверх. Область определения прежняя: \(D(y) = (0;\ +\infty)\). Нуль: \(\log_{\frac{1}{3}} x = -1\), то есть \(x = \left(\frac{1}{3}\right)^{-1} = 3\). Асимптотой остаётся ось ординат. Функция убывающая; кривая проходит через точки \(\left(\frac{1}{9};\ 3\right)\), \(\left(\frac{1}{3};\ 2\right)\), \((1;\ 1)\), \((3;\ 0)\).
5) По формуле перехода к другому основанию \(\log_{\frac{1}{3}} x = \frac{\log_{3} x}{\log_{3} \frac{1}{3}} = -\log_{3} x\), поэтому \(y = -\log_{\frac{1}{3}} x = \log_{3} x\). График симметричен графику функции \(y = \log_{\frac{1}{3}} x\) относительно оси абсцисс, а такая симметрия меняет направление монотонности, поэтому данная функция возрастающая, хотя в её записи стоит основание, меньшее единицы. Область определения прежняя: \(D(y) = (0;\ +\infty)\), нуль тот же: \(x = 1\), асимптотой остаётся ось ординат. Кривая проходит через точки \(\left(\frac{1}{9};\ -2\right)\), \(\left(\frac{1}{3};\ -1\right)\), \((1;\ 0)\), \((3;\ 1)\).
6) График симметричен графику функции \(y = \log_{\frac{1}{3}} x\) относительно оси ординат: значение при \(-x\) то же, что у исходной функции при \(x\). \(-x > 0\), то есть \(D(y) = (-\infty;\ 0)\). Нуль: \(-x = 1\), то есть \(x = -1\). Асимптотой остаётся ось ординат, но кривая подходит к ней слева. Симметрия относительно оси ординат меняет направление монотонности, поэтому функция возрастающая. Кривая проходит через точки \((-3;\ -1)\), \((-1;\ 0)\), \(\left(-\frac{1}{3};\ 1\right)\), \(\left(-\frac{1}{9};\ 2\right)\).
Постройте график функции: 1) \(y = \log_{\frac{1}{3}}(x - 2)\); 2) \(y = \log_{\frac{1}{3}}(x + 1)\); 3) \(y = \log_{\frac{1}{3}} x - 2\); 4) \(y = \log_{\frac{1}{3}} x + 1\); 5) \(y = -\log_{\frac{1}{3}} x\); 6) \(y = \log_{\frac{1}{3}}(-x)\).
Все шесть графиков получаются из графика функции \(y = \log_{\frac{1}{3}} x\) сдвигами вдоль осей координат и симметриями. Эта функция убывающая, так как её основание \(\frac{1}{3}\) меньше единицы; её область определения — \((0;\ +\infty)\), нуль — \(x = 1\), а вертикальная асимптота — ось ординат.
1) График функции \(y = \log_{\frac{1}{3}}(x - 2)\) получается сдвигом графика функции \(y = \log_{\frac{1}{3}} x\) на 2 единицы вправо. Область определения задаётся условием \(x - 2 > 0\), то есть \(D(y) = (2;\ +\infty)\). Нуль функции: \(x - 2 = 1\), то есть \(x = 3\). Вместе с кривой вправо сдвигается и вертикальная асимптота — теперь это прямая \(x = 2\). Функция убывающая. Кривая проходит через точки \(\left(\frac{7}{3};\ 1\right)\), \((3;\ 0)\), \((5;\ -1)\).
2) График функции \(y = \log_{\frac{1}{3}}(x + 1)\) получается сдвигом графика функции \(y = \log_{\frac{1}{3}} x\) на 1 единицу влево. Область определения задаётся условием \(x + 1 > 0\), то есть \(D(y) = (-1;\ +\infty)\). Нуль функции: \(x + 1 = 1\), то есть \(x = 0\). Вертикальная асимптота сдвигается вместе с кривой — это прямая \(x = -1\). Функция убывающая. Кривая проходит через точки \(\left(-\frac{2}{3};\ 1\right)\), \((0;\ 0)\), \((2;\ -1)\).
3) График функции \(y = \log_{\frac{1}{3}} x - 2\) получается сдвигом графика функции \(y = \log_{\frac{1}{3}} x\) на 2 единицы вниз. Область определения прежняя: \(D(y) = (0;\ +\infty)\). Нуль функции: \(\log_{\frac{1}{3}} x = 2\), то есть \(x = \left(\frac{1}{3}\right)^{2} = \frac{1}{9}\). Вертикальной асимптотой остаётся ось ординат. Функция убывающая. Кривая проходит через точки \(\left(\frac{1}{9};\ 0\right)\), \(\left(\frac{1}{3};\ -1\right)\), \((1;\ -2)\), \((3;\ -3)\).
4) График функции \(y = \log_{\frac{1}{3}} x + 1\) получается сдвигом графика функции \(y = \log_{\frac{1}{3}} x\) на 1 единицу вверх. Область определения прежняя: \(D(y) = (0;\ +\infty)\). Нуль функции: \(\log_{\frac{1}{3}} x = -1\), то есть \(x = \left(\frac{1}{3}\right)^{-1} = 3\). Вертикальной асимптотой остаётся ось ординат. Функция убывающая. Кривая проходит через точки \(\left(\frac{1}{9};\ 3\right)\), \(\left(\frac{1}{3};\ 2\right)\), \((1;\ 1)\), \((3;\ 0)\).
5) По формуле перехода к другому основанию \(\log_{\frac{1}{3}} x = \frac{\log_{3} x}{\log_{3} \frac{1}{3}} = -\log_{3} x\), поэтому \(y = -\log_{\frac{1}{3}} x = \log_{3} x\). График симметричен графику функции \(y = \log_{\frac{1}{3}} x\) относительно оси абсцисс, а такая симметрия меняет направление монотонности, поэтому данная функция возрастающая, хотя в её записи стоит основание, меньшее единицы. Область определения прежняя: \(D(y) = (0;\ +\infty)\), нуль тот же: \(x = 1\). Вертикальной асимптотой остаётся ось ординат. Кривая проходит через точки \(\left(\frac{1}{9};\ -2\right)\), \(\left(\frac{1}{3};\ -1\right)\), \((1;\ 0)\), \((3;\ 1)\).
6) График функции \(y = \log_{\frac{1}{3}}(-x)\) симметричен графику функции \(y = \log_{\frac{1}{3}} x\) относительно оси ординат: значение при \(-x\) то же, что у исходной функции при \(x\). Область определения задаётся условием \(-x > 0\), то есть \(D(y) = (-\infty;\ 0)\). Нуль функции: \(-x = 1\), то есть \(x = -1\). Вертикальной асимптотой остаётся ось ординат, но кривая подходит к ней слева. Симметрия относительно оси ординат меняет направление монотонности, поэтому функция возрастающая. Кривая проходит через точки \((-3;\ -1)\), \((-1;\ 0)\), \(\left(-\frac{1}{3};\ 1\right)\), \(\left(-\frac{1}{9};\ 2\right)\).
