Страница 46 номер 5.27, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Решите графически уравнение: 1) \(\log_{2} x = 3 - x\); 2) \(\log_{\frac{1}{3}} x = x - 1\); 3) \(\log_{2} x = -x - 0{,}5\).
Корни уравнения — абсциссы общих точек графиков его левой и правой частей.
1) Уравнение имеет смысл при \(x > 0\). Строим графики \(y = \log_{2} x\) и \(y = 3 - x\); прямая проходит через точки \((0;\ 3)\) и \((3;\ 0)\).
Графики пересекаются в точке \((2;\ 1)\). Проверка: \(\log_{2} 2 = 1\) и \(3 - 2 = 1\), значит, число 2 — корень уравнения. Функция \(y = \log_{2} x\) возрастающая, а функция \(y = 3 - x\) убывающая, поэтому общих точек не более одной: других корней нет.
2) Уравнение имеет смысл при \(x > 0\). Строим графики \(y = \log_{\frac{1}{3}} x\) и \(y = x - 1\); прямая проходит через точки \((0;\ -1)\) и \((1;\ 0)\).
Графики пересекаются в точке \((1;\ 0)\). Проверка: \(\log_{\frac{1}{3}} 1 = 0\) и \(1 - 1 = 0\), значит, число 1 — корень уравнения. Функция \(y = \log_{\frac{1}{3}} x\) убывающая, а функция \(y = x - 1\) возрастающая, поэтому общих точек не более одной: других корней нет.
3) Уравнение имеет смысл при \(x > 0\). Строим графики \(y = \log_{2} x\) и \(y = -x - 0{,}5\); прямая проходит через точки \((0;\ -0{,}5)\) и \((-0{,}5;\ 0)\).
Графики пересекаются в точке \(\left(\frac{1}{2};\ -1\right)\). Проверка: \(\log_{2} \frac{1}{2} = -1\) и \(-\frac{1}{2} - 0{,}5 = -1\), значит, число \(\frac{1}{2}\) — корень уравнения. Функция \(y = \log_{2} x\) возрастающая, а функция \(y = -x - 0{,}5\) убывающая, поэтому общих точек не более одной: других корней нет.
Ответ: 1) 2; 2) 1; 3) \(\frac{1}{2}\).
Решите графически уравнение: 1) \(\log_{2} x = 3 - x\); 2) \(\log_{\frac{1}{3}} x = x - 1\); 3) \(\log_{2} x = -x - 0{,}5\).
Корни уравнения — это абсциссы общих точек графиков функций, записанных в его левой и правой частях.
1) Уравнение \(\log_{2} x = 3 - x\) имеет смысл при \(x > 0\). Построим в одной системе координат графики функций \(y = \log_{2} x\) и \(y = 3 - x\); прямая проходит через точки \((0;\ 3)\) и \((3;\ 0)\).
Графики пересекаются в точке \((2;\ 1)\). Проверка: \(\log_{2} 2 = 1\) и \(3 - 2 = 1\), равенство верно, поэтому число 2 — корень уравнения. Функция \(y = \log_{2} x\) возрастающая, а функция \(y = 3 - x\) убывающая, поэтому общих точек у графиков не более одной. Значит, других корней уравнение не имеет.
2) Уравнение \(\log_{\frac{1}{3}} x = x - 1\) имеет смысл при \(x > 0\). Построим в одной системе координат графики функций \(y = \log_{\frac{1}{3}} x\) и \(y = x - 1\); прямая проходит через точки \((0;\ -1)\) и \((1;\ 0)\).
Графики пересекаются в точке \((1;\ 0)\). Проверка: \(\log_{\frac{1}{3}} 1 = 0\) и \(1 - 1 = 0\), равенство верно, поэтому число 1 — корень уравнения. Функция \(y = \log_{\frac{1}{3}} x\) убывающая, а функция \(y = x - 1\) возрастающая, поэтому общих точек у графиков не более одной. Значит, других корней уравнение не имеет.
3) Уравнение \(\log_{2} x = -x - 0{,}5\) имеет смысл при \(x > 0\). Построим в одной системе координат графики функций \(y = \log_{2} x\) и \(y = -x - 0{,}5\); прямая проходит через точки \((0;\ -0{,}5)\) и \((-0{,}5;\ 0)\).
Графики пересекаются в точке \(\left(\frac{1}{2};\ -1\right)\). Проверка: \(\log_{2} \frac{1}{2} = -1\) и \(-\frac{1}{2} - 0{,}5 = -1\), равенство верно, поэтому число \(\frac{1}{2}\) — корень уравнения. Функция \(y = \log_{2} x\) возрастающая, а функция \(y = -x - 0{,}5\) убывающая, поэтому общих точек у графиков не более одной. Значит, других корней уравнение не имеет.
Ответ: 1) 2; 2) 1; 3) \(\frac{1}{2}\).
