Страница 46 номер 5.25, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Постройте график функции: 1) \(y = \log_{2}(x - 1)\); 2) \(y = \log_{2}(x + 3)\); 3) \(y = \log_{2} x - 1\); 4) \(y = \log_{2} x + 3\); 5) \(y = -\log_{2} x\); 6) \(y = \log_{2}(-x)\).
Все графики получаются из графика функции \(y = \log_{2} x\) сдвигами вдоль осей координат и симметриями; она возрастающая, так как её основание \(2 > 1\), её область определения — \((0;\ +\infty)\), нуль — \(x = 1\), вертикальная асимптота — ось ординат.
1) График получается сдвигом на 1 единицу вправо. \(x - 1 > 0\), то есть \(D(y) = (1;\ +\infty)\). Нуль: \(x - 1 = 1\), то есть \(x = 2\). Вместе с кривой сдвигается и асимптота — теперь это прямая \(x = 1\). Кривая проходит через точки \((1{,}5;\ -1)\), \((2;\ 0)\), \((3;\ 1)\), \((5;\ 2)\).
2) График получается сдвигом на 3 единицы влево. \(x + 3 > 0\), то есть \(D(y) = (-3;\ +\infty)\). Нуль: \(x + 3 = 1\), то есть \(x = -2\). Асимптота сдвигается вместе с кривой — это прямая \(x = -3\). Кривая проходит через точки \((-2{,}5;\ -1)\), \((-2;\ 0)\), \((-1;\ 1)\), \((1;\ 2)\).
3) График получается сдвигом на 1 единицу вниз. Область определения прежняя: \(D(y) = (0;\ +\infty)\). Нуль: \(\log_{2} x = 1\), то есть \(x = 2\). Асимптотой остаётся ось ординат. Кривая проходит через точки \((0{,}5;\ -2)\), \((1;\ -1)\), \((2;\ 0)\), \((4;\ 1)\).
4) График получается сдвигом на 3 единицы вверх. Область определения прежняя: \(D(y) = (0;\ +\infty)\). Нуль: \(\log_{2} x = -3\), то есть \(x = 2^{-3} = \frac{1}{8}\). Асимптотой остаётся ось ординат. Кривая проходит через точки \(\left(\frac{1}{8};\ 0\right)\), \(\left(\frac{1}{2};\ 2\right)\), \((1;\ 3)\), \((2;\ 4)\), \((4;\ 5)\).
5) График симметричен графику функции \(y = \log_{2} x\) относительно оси абсцисс: каждому значению аргумента отвечает противоположное значение функции. Область определения прежняя: \(D(y) = (0;\ +\infty)\), нуль тот же: \(x = 1\), асимптотой остаётся ось ординат. Симметрия относительно оси абсцисс меняет направление монотонности, поэтому функция убывающая. Кривая проходит через точки \(\left(\frac{1}{4};\ 2\right)\), \(\left(\frac{1}{2};\ 1\right)\), \((1;\ 0)\), \((2;\ -1)\), \((4;\ -2)\).
6) График симметричен графику функции \(y = \log_{2} x\) относительно оси ординат: значение при \(-x\) то же, что у исходной функции при \(x\). \(-x > 0\), то есть \(D(y) = (-\infty;\ 0)\). Нуль: \(-x = 1\), то есть \(x = -1\). Асимптотой остаётся ось ординат, но кривая подходит к ней слева. Симметрия относительно оси ординат меняет направление монотонности, поэтому функция убывающая. Кривая проходит через точки \((-4;\ 2)\), \((-2;\ 1)\), \((-1;\ 0)\), \(\left(-\frac{1}{2};\ -1\right)\), \(\left(-\frac{1}{4};\ -2\right)\).
Постройте график функции: 1) \(y = \log_{2}(x - 1)\); 2) \(y = \log_{2}(x + 3)\); 3) \(y = \log_{2} x - 1\); 4) \(y = \log_{2} x + 3\); 5) \(y = -\log_{2} x\); 6) \(y = \log_{2}(-x)\).
Все шесть графиков получаются из графика функции \(y = \log_{2} x\) сдвигами вдоль осей координат и симметриями. Эта функция возрастающая, так как её основание \(2 > 1\); её область определения — \((0;\ +\infty)\), нуль — \(x = 1\), а вертикальная асимптота — ось ординат.
1) График функции \(y = \log_{2}(x - 1)\) получается сдвигом графика функции \(y = \log_{2} x\) на 1 единицу вправо. Область определения задаётся условием \(x - 1 > 0\), то есть \(D(y) = (1;\ +\infty)\). Нуль функции: \(\log_{2}(x - 1) = 0\) при \(x - 1 = 1\), то есть при \(x = 2\). Вместе с кривой вправо сдвигается и вертикальная асимптота — теперь это прямая \(x = 1\). Кривая проходит через точки \((1{,}5;\ -1)\), \((2;\ 0)\), \((3;\ 1)\), \((5;\ 2)\).
2) График функции \(y = \log_{2}(x + 3)\) получается сдвигом графика функции \(y = \log_{2} x\) на 3 единицы влево. Область определения задаётся условием \(x + 3 > 0\), то есть \(D(y) = (-3;\ +\infty)\). Нуль функции: \(x + 3 = 1\), то есть \(x = -2\). Вертикальная асимптота сдвигается вместе с кривой — это прямая \(x = -3\). Кривая проходит через точки \((-2{,}5;\ -1)\), \((-2;\ 0)\), \((-1;\ 1)\), \((1;\ 2)\).
3) График функции \(y = \log_{2} x - 1\) получается сдвигом графика функции \(y = \log_{2} x\) на 1 единицу вниз. Область определения прежняя: \(D(y) = (0;\ +\infty)\). Нуль функции: \(\log_{2} x = 1\), то есть \(x = 2\). Вертикальной асимптотой остаётся ось ординат. Кривая проходит через точки \((0{,}5;\ -2)\), \((1;\ -1)\), \((2;\ 0)\), \((4;\ 1)\).
4) График функции \(y = \log_{2} x + 3\) получается сдвигом графика функции \(y = \log_{2} x\) на 3 единицы вверх. Область определения прежняя: \(D(y) = (0;\ +\infty)\). Нуль функции: \(\log_{2} x = -3\), то есть \(x = 2^{-3} = \frac{1}{8}\). Вертикальной асимптотой остаётся ось ординат. Кривая проходит через точки \(\left(\frac{1}{8};\ 0\right)\), \(\left(\frac{1}{2};\ 2\right)\), \((1;\ 3)\), \((2;\ 4)\), \((4;\ 5)\).
5) График функции \(y = -\log_{2} x\) симметричен графику функции \(y = \log_{2} x\) относительно оси абсцисс: каждому значению аргумента отвечает противоположное значение функции. Область определения прежняя: \(D(y) = (0;\ +\infty)\), нуль тот же: \(x = 1\). Вертикальной асимптотой остаётся ось ординат. Симметрия относительно оси абсцисс меняет направление монотонности, поэтому функция убывающая. Кривая проходит через точки \(\left(\frac{1}{4};\ 2\right)\), \(\left(\frac{1}{2};\ 1\right)\), \((1;\ 0)\), \((2;\ -1)\), \((4;\ -2)\).
6) График функции \(y = \log_{2}(-x)\) симметричен графику функции \(y = \log_{2} x\) относительно оси ординат: значение при \(-x\) то же, что у исходной функции при \(x\). Область определения задаётся условием \(-x > 0\), то есть \(D(y) = (-\infty;\ 0)\). Нуль функции: \(-x = 1\), то есть \(x = -1\). Вертикальной асимптотой остаётся ось ординат, но кривая подходит к ней слева. Симметрия относительно оси ординат меняет направление монотонности, поэтому функция убывающая. Кривая проходит через точки \((-4;\ 2)\), \((-2;\ 1)\), \((-1;\ 0)\), \(\left(-\frac{1}{2};\ -1\right)\), \(\left(-\frac{1}{4};\ -2\right)\).
