Страница 46 номер 5.23, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Найдите область определения функции: 1) \(f(x) = \frac{1}{\lg x}\); 2) \(f(x) = \frac{4}{\log_{5}(10 - x)}\); 3) \(f(x) = \log_{2} \cos x\); 4) \(f(x) = \log_{3} \operatorname{tg} x\).
1) \(\lg x\) имеет смысл при \(x > 0\), а знаменатель дроби не равен нулю, поэтому \(\lg x \ne 0\), то есть \(x \ne 1\): \(\begin{cases} x > 0, \\ x \ne 1. \end{cases}\) Отсюда \(D(f) = (0;\ 1) \cup (1;\ +\infty)\).
2) \(\log_{5}(10 - x)\) имеет смысл при \(10 - x > 0\), а знаменатель не равен нулю, поэтому \(10 - x \ne 1\): \(\begin{cases} 10 - x > 0, \\ 10 - x \ne 1; \end{cases}\) \(\begin{cases} x < 10, \\ x \ne 9. \end{cases}\) Отсюда \(D(f) = (-\infty;\ 9) \cup (9;\ 10)\).
3) Область определения — множество решений неравенства \(\cos x > 0\). Косинус положителен в первой и четвёртой четвертях, поэтому \(D(f)\) — множество чисел, для которых \(-\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < \frac{\pi}{2} + 2\pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\).
4) Область определения — множество решений неравенства \(\operatorname{tg} x > 0\). Тангенс положителен в первой и третьей четвертях; числа вида \(\frac{\pi}{2} + \pi n\), при которых он не определён, в эти промежутки не входят. Отсюда \(D(f)\) — множество чисел, для которых \(\pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\).
Ответ: 1) \((0;\ 1) \cup (1;\ +\infty)\); 2) \((-\infty;\ 9) \cup (9;\ 10)\); 3) \(-\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < \frac{\pi}{2} + 2\pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\); 4) \(\pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\).
Найдите область определения функции: 1) \(f(x) = \frac{1}{\lg x}\); 2) \(f(x) = \frac{4}{\log_{5}(10 - x)}\); 3) \(f(x) = \log_{2} \cos x\); 4) \(f(x) = \log_{3} \operatorname{tg} x\).
1) Выражение \(\lg x\) имеет смысл при \(x > 0\), а знаменатель дроби не может равняться нулю, поэтому \(\lg x \ne 0\), то есть \(x \ne 1\). Область определения данной функции — множество решений системы \(\begin{cases} x > 0, \\ x \ne 1. \end{cases}\)
Отсюда \(D(f) = (0;\ 1) \cup (1;\ +\infty)\).
2) Выражение \(\log_{5}(10 - x)\) имеет смысл при \(10 - x > 0\), а знаменатель дроби не равен нулю, поэтому \(\log_{5}(10 - x) \ne 0\), то есть \(10 - x \ne 1\). Получаем систему \(\begin{cases} 10 - x > 0, \\ 10 - x \ne 1; \end{cases}\) \(\begin{cases} x < 10, \\ x \ne 9. \end{cases}\)
Отсюда \(D(f) = (-\infty;\ 9) \cup (9;\ 10)\).
3) Область определения логарифмической функции — множество положительных чисел, поэтому областью определения данной функции является множество решений неравенства \(\cos x > 0\). Косинус положителен в первой и четвёртой четвертях, то есть при \(-\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < \frac{\pi}{2} + 2\pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\).
Отсюда \(D(f)\) — множество чисел, для которых \(-\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < \frac{\pi}{2} + 2\pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\).
4) Областью определения данной функции является множество решений неравенства \(\operatorname{tg} x > 0\). Тангенс положителен в первой и третьей четвертях, то есть при \(\pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\). Числа вида \(\frac{\pi}{2} + \pi n\), при которых тангенс не определён, в эти промежутки не входят.
Отсюда \(D(f)\) — множество чисел, для которых \(\pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\).
Ответ: 1) \((0;\ 1) \cup (1;\ +\infty)\); 2) \((-\infty;\ 9) \cup (9;\ 10)\); 3) \(-\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < \frac{\pi}{2} + 2\pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\); 4) \(\pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\).
