Страница 46 номер 5.22, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Сравните: 1) \(\log_{1{,}7} 1{,}8\) и \(\log_{1{,}8} 1{,}7\); 2) \(\log_{0{,}2} 0{,}3\) и \(\log_{0{,}3} 0{,}2\).
Основание каждого логарифма служит аргументом второго, поэтому сравним каждое из двух чисел с единицей: \(\log_{a} a = 1\).
1) Основание \(1{,}7 > 1\) — функция возрастающая, и из \(1{,}8 > 1{,}7\) получаем \(\log_{1{,}7} 1{,}8 > 1\).
Основание \(1{,}8 > 1\) — функция возрастающая, и из \(1{,}7 < 1{,}8\) получаем \(\log_{1{,}8} 1{,}7 < 1\).
Следовательно, \(\log_{1{,}7} 1{,}8 > 1 > \log_{1{,}8} 1{,}7\).
2) Основание \(0{,}2\) меньше единицы — функция убывающая, и из \(0{,}3 > 0{,}2\) получаем \(\log_{0{,}2} 0{,}3 < 1\).
Основание \(0{,}3\) меньше единицы — функция убывающая, и из \(0{,}2 < 0{,}3\) получаем \(\log_{0{,}3} 0{,}2 > 1\).
Следовательно, \(\log_{0{,}2} 0{,}3 < 1 < \log_{0{,}3} 0{,}2\).
Ответ: 1) \(\log_{1{,}7} 1{,}8 > \log_{1{,}8} 1{,}7\); 2) \(\log_{0{,}2} 0{,}3 < \log_{0{,}3} 0{,}2\).
Сравните: 1) \(\log_{1{,}7} 1{,}8\) и \(\log_{1{,}8} 1{,}7\); 2) \(\log_{0{,}2} 0{,}3\) и \(\log_{0{,}3} 0{,}2\).
Основание каждого логарифма служит аргументом второго, поэтому сравним каждое из двух чисел с единицей, пользуясь равенством \(\log_{a} a = 1\).
1) Функция \(y = \log_{1{,}7} x\) возрастающая, так как \(1{,}7 > 1\). Из неравенства \(1{,}8 > 1{,}7\) получаем \(\log_{1{,}7} 1{,}8 > \log_{1{,}7} 1{,}7\), то есть \(\log_{1{,}7} 1{,}8 > 1\).
Функция \(y = \log_{1{,}8} x\) возрастающая, так как \(1{,}8 > 1\). Из неравенства \(1{,}7 < 1{,}8\) получаем \(\log_{1{,}8} 1{,}7 < \log_{1{,}8} 1{,}8\), то есть \(\log_{1{,}8} 1{,}7 < 1\).
Следовательно, \(\log_{1{,}7} 1{,}8 > 1 > \log_{1{,}8} 1{,}7\).
2) Функция \(y = \log_{0{,}2} x\) убывающая, так как \(0 < 0{,}2 < 1\). Из неравенства \(0{,}3 > 0{,}2\) получаем \(\log_{0{,}2} 0{,}3 < \log_{0{,}2} 0{,}2\), то есть \(\log_{0{,}2} 0{,}3 < 1\).
Функция \(y = \log_{0{,}3} x\) убывающая, так как \(0 < 0{,}3 < 1\). Из неравенства \(0{,}2 < 0{,}3\) получаем \(\log_{0{,}3} 0{,}2 > \log_{0{,}3} 0{,}3\), то есть \(\log_{0{,}3} 0{,}2 > 1\).
Следовательно, \(\log_{0{,}2} 0{,}3 < 1 < \log_{0{,}3} 0{,}2\).
Ответ: 1) \(\log_{1{,}7} 1{,}8 > \log_{1{,}8} 1{,}7\); 2) \(\log_{0{,}2} 0{,}3 < \log_{0{,}3} 0{,}2\).
