Страница 15 номер 1.40, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Найдите область значений функции \(f(x) = 2^{(\sin x + \cos x)^{2}}\).
Преобразуем показатель:
\[(\sin x + \cos x)^{2} = \sin^{2} x + 2\sin x \cos x + \cos^{2} x = 1 + \sin 2x.\]
Значение \(\sin 2x\) пробегает весь отрезок \([-1;\ 1]\), поэтому показатель \(1 + \sin 2x\) принимает все значения отрезка \([0;\ 2]\) и только их.
Функция \(y = 2^{t}\) возрастающая, поэтому значения степени пробегают отрезок \([2^{0};\ 2^{2}]\), то есть \([1;\ 4]\). Обе границы достигаются: 1 — при \(\sin 2x = -1\), 4 — при \(\sin 2x = 1\).
Ответ: \([1;\ 4]\).
Найдите область значений функции \(f(x) = 2^{(\sin x + \cos x)^{2}}\).
Преобразуем показатель, пользуясь основным тригонометрическим тождеством и формулой синуса двойного угла:
\[(\sin x + \cos x)^{2} = \sin^{2} x + 2\sin x \cos x + \cos^{2} x = 1 + \sin 2x.\]
Значение \(\sin 2x\) пробегает весь отрезок \([-1;\ 1]\), поэтому показатель \(1 + \sin 2x\) принимает все значения из отрезка \([0;\ 2]\) и никаких других.
Показательная функция \(y = 2^{t}\) возрастающая, поэтому, когда показатель пробегает отрезок \([0;\ 2]\), значения степени пробегают отрезок \([2^{0};\ 2^{2}]\), то есть \([1;\ 4]\). Обе границы достигаются: значение 1 — при \(\sin 2x = -1\), значение 4 — при \(\sin 2x = 1\).
Ответ: \([1;\ 4]\).
