Страница 16 номер 1.49, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Исследуйте на чётность функцию \(y = (\sqrt{2} + 1)^{x} - (\sqrt{2} - 1)^{x}\).
Обозначим \(f(x) = (\sqrt{2} + 1)^{x} - (\sqrt{2} - 1)^{x}\). Оба основания положительны, так как \(\sqrt{2} > 1\), поэтому обе степени определены при всех действительных \(x\) и область определения симметрична относительно нуля.
Основания взаимно обратны: \((\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1) = 2 - 1 = 1\), поэтому \((\sqrt{2} + 1)^{-x} = (\sqrt{2} - 1)^{x}\) и \((\sqrt{2} - 1)^{-x} = (\sqrt{2} + 1)^{x}\). Тогда
\[f(-x) = (\sqrt{2} + 1)^{-x} - (\sqrt{2} - 1)^{-x} = (\sqrt{2} - 1)^{x} - (\sqrt{2} + 1)^{x} = -f(x).\]
Равенство \(f(-x) = -f(x)\) выполняется при всех \(x\), значит, функция нечётная.
Ответ: функция нечётная.
Исследуйте на чётность функцию \(y = (\sqrt{2} + 1)^{x} - (\sqrt{2} - 1)^{x}\).
Обозначим \(f(x) = (\sqrt{2} + 1)^{x} - (\sqrt{2} - 1)^{x}\).
Оба основания положительны: \(\sqrt{2} + 1 > 0\), и \(\sqrt{2} - 1 > 0\), так как \(\sqrt{2} > 1\). Значит, обе степени определены при всех действительных \(x\), и область определения симметрична относительно нуля.
Основания взаимно обратны: \((\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1) = 2 - 1 = 1\), поэтому \(\sqrt{2} - 1 = (\sqrt{2} + 1)^{-1}\) и \(\sqrt{2} + 1 = (\sqrt{2} - 1)^{-1}\). По свойству степени \((x^{\alpha})^{\beta} = x^{\alpha\beta}\) получаем \((\sqrt{2} + 1)^{-x} = (\sqrt{2} - 1)^{x}\) и \((\sqrt{2} - 1)^{-x} = (\sqrt{2} + 1)^{x}\).
Тогда
\[f(-x) = (\sqrt{2} + 1)^{-x} - (\sqrt{2} - 1)^{-x} = (\sqrt{2} - 1)^{x} - (\sqrt{2} + 1)^{x} = -f(x).\]
Равенство \(f(-x) = -f(x)\) выполняется при каждом значении \(x\) из области определения, значит, функция нечётная.
Ответ: функция нечётная.
