Страница 15 номер 1.47, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Исследуйте на чётность функцию \(y = \frac{2^{x} - 3^{x}}{2^{x} + 3^{x}}\).
Обозначим \(f(x) = \frac{2^{x} - 3^{x}}{2^{x} + 3^{x}}\). Знаменатель положителен при всех \(x\), так как \(2^{x} > 0\) и \(3^{x} > 0\), поэтому область определения — все действительные числа, и она симметрична относительно нуля.
Умножим числитель и знаменатель на \(6^{x} = 2^{x} \cdot 3^{x}\) (при этом \(2^{-x} \cdot 2^{x} \cdot 3^{x} = 3^{x}\) и \(3^{-x} \cdot 2^{x} \cdot 3^{x} = 2^{x}\)):
\[\begin{aligned} &f(-x) = \frac{2^{-x} - 3^{-x}}{2^{-x} + 3^{-x}} = \frac{(2^{-x} - 3^{-x}) \cdot 6^{x}}{(2^{-x} + 3^{-x}) \cdot 6^{x}} = {} \\ &= \frac{3^{x} - 2^{x}}{3^{x} + 2^{x}} = -\frac{2^{x} - 3^{x}}{2^{x} + 3^{x}} = -f(x). \end{aligned}\]
Равенство \(f(-x) = -f(x)\) выполняется при всех \(x\), значит, функция нечётная.
Ответ: функция нечётная.
Исследуйте на чётность функцию \(y = \frac{2^{x} - 3^{x}}{2^{x} + 3^{x}}\).
Обозначим \(f(x) = \frac{2^{x} - 3^{x}}{2^{x} + 3^{x}}\).
Знаменатель положителен при всех \(x\), так как \(2^{x} > 0\) и \(3^{x} > 0\). Значит, областью определения служит множество всех действительных чисел, а оно симметрично относительно нуля.
Найдём \(f(-x)\), умножив числитель и знаменатель дроби на положительное число \(6^{x} = 2^{x} \cdot 3^{x}\); при этом \(2^{-x} \cdot 2^{x} \cdot 3^{x} = 3^{x}\) и \(3^{-x} \cdot 2^{x} \cdot 3^{x} = 2^{x}\):
\[\begin{aligned} &f(-x) = \frac{2^{-x} - 3^{-x}}{2^{-x} + 3^{-x}} = \frac{(2^{-x} - 3^{-x}) \cdot 6^{x}}{(2^{-x} + 3^{-x}) \cdot 6^{x}} = {} \\ &= \frac{3^{x} - 2^{x}}{3^{x} + 2^{x}} = -\frac{2^{x} - 3^{x}}{2^{x} + 3^{x}} = -f(x). \end{aligned}\]
Равенство \(f(-x) = -f(x)\) выполняется при каждом значении \(x\) из области определения, значит, функция нечётная.
Ответ: функция нечётная.
