Страница 15 номер 1.45, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Решите неравенство: 1) \(2^{x^{2}} > \cos x\); 2) \(2^{-x^{2}} \ge x^{2} + 1\).
1) Так как \(x^{2} \geqslant 0\), а функция \(y = 2^{t}\) возрастающая, то \(2^{x^{2}} \geqslant 2^{0} = 1\), а \(\cos x \leqslant 1\) при всех \(x\).
При \(x \ne 0\) показатель положителен: \(x^{2} > 0\), поэтому \(2^{x^{2}} > 1 \geqslant \cos x\) и неравенство выполняется.
При \(x = 0\) обе части равны единице: \(2^{0} = 1\) и \(\cos 0 = 1\) — строгое неравенство не выполняется, \(x = 0\) в ответ не входит.
2) Так как \(-x^{2} \leqslant 0\), то \(2^{-x^{2}} \leqslant 2^{0} = 1\), а \(x^{2} + 1 \geqslant 1\).
Левая часть не больше 1, правая не меньше 1, поэтому неравенство равносильно системе
\[\begin{cases}2^{-x^{2}} = 1,\\ x^{2} + 1 = 1.\end{cases}\]
Второе уравнение даёт \(x = 0\); это значение удовлетворяет и первому, так как \(2^{0} = 1\).
Ответ: 1) \((-\infty;\ 0) \cup (0;\ +\infty)\); 2) \(\{0\}\).
Решите неравенство: 1) \(2^{x^{2}} > \cos x\); 2) \(2^{-x^{2}} \ge x^{2} + 1\).
1) Так как \(x^{2} \geqslant 0\), а показательная функция \(y = 2^{t}\) возрастающая, то \(2^{x^{2}} \geqslant 2^{0} = 1\). В то же время \(\cos x \leqslant 1\) при всех \(x\).
При \(x \ne 0\) показатель положителен: \(x^{2} > 0\), поэтому \(2^{x^{2}} > 1 \geqslant \cos x\) и неравенство выполняется.
При \(x = 0\) обе части равны единице: \(2^{0} = 1\) и \(\cos 0 = 1\). Строгое неравенство при этом не выполняется, поэтому значение \(x = 0\) в ответ не входит.
2) Так как \(-x^{2} \leqslant 0\), то \(2^{-x^{2}} \leqslant 2^{0} = 1\). В то же время \(x^{2} + 1 \geqslant 1\).
Левая часть не больше 1, а правая не меньше 1, поэтому неравенство равносильно системе
\[\begin{cases}2^{-x^{2}} = 1,\\ x^{2} + 1 = 1.\end{cases}\]
Второе уравнение даёт \(x = 0\); это значение удовлетворяет и первому уравнению, так как \(2^{0} = 1\).
Ответ: 1) \((-\infty;\ 0) \cup (0;\ +\infty)\); 2) \(\{0\}\).
