Страница 15 номер 1.48, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Исследуйте на чётность функцию \(y = (2 + \sqrt{3})^{x} + (2 - \sqrt{3})^{x}\).
Обозначим \(f(x) = (2 + \sqrt{3})^{x} + (2 - \sqrt{3})^{x}\). Оба основания положительны, так как \(\sqrt{3} < 2\), поэтому обе степени определены при всех действительных \(x\) и область определения симметрична относительно нуля.
Основания взаимно обратны: \((2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) = 4 - 3 = 1\), поэтому \((2 + \sqrt{3})^{-x} = (2 - \sqrt{3})^{x}\) и \((2 - \sqrt{3})^{-x} = (2 + \sqrt{3})^{x}\). Тогда
\[f(-x) = (2 + \sqrt{3})^{-x} + (2 - \sqrt{3})^{-x} = (2 - \sqrt{3})^{x} + (2 + \sqrt{3})^{x} = f(x).\]
Значения \(f(-x)\) и \(f(x)\) совпадают при всех \(x\), значит, функция чётная.
Ответ: функция чётная.
Исследуйте на чётность функцию \(y = (2 + \sqrt{3})^{x} + (2 - \sqrt{3})^{x}\).
Обозначим \(f(x) = (2 + \sqrt{3})^{x} + (2 - \sqrt{3})^{x}\).
Оба основания положительны: \(2 + \sqrt{3} > 0\), и \(2 - \sqrt{3} > 0\), так как \(\sqrt{3} < 2\). Значит, обе степени определены при всех действительных \(x\), и область определения симметрична относительно нуля.
Основания взаимно обратны: \((2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) = 4 - 3 = 1\), поэтому \(2 - \sqrt{3} = (2 + \sqrt{3})^{-1}\) и \(2 + \sqrt{3} = (2 - \sqrt{3})^{-1}\). По свойству степени \((x^{\alpha})^{\beta} = x^{\alpha\beta}\) получаем \((2 + \sqrt{3})^{-x} = (2 - \sqrt{3})^{x}\) и \((2 - \sqrt{3})^{-x} = (2 + \sqrt{3})^{x}\).
Тогда
\[f(-x) = (2 + \sqrt{3})^{-x} + (2 - \sqrt{3})^{-x} = (2 - \sqrt{3})^{x} + (2 + \sqrt{3})^{x} = f(x).\]
Значения \(f(-x)\) и \(f(x)\) совпадают при каждом значении \(x\) из области определения, значит, функция чётная.
Ответ: функция чётная.
