Страница 15 номер 1.44, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Решите неравенство: 1) \(2^{x^{2}} \ge \sin x\); 2) \(2^{-x^{2}} \ge |\sin x| + 1\); 3) \(2^{\sqrt{x}} \ge 1 - x^{2}\).
1) Так как \(x^{2} \geqslant 0\), а функция \(y = 2^{t}\) возрастающая, то \(2^{x^{2}} \geqslant 2^{0} = 1\), а \(\sin x \leqslant 1\) при всех \(x\).
Значит, при каждом действительном \(x\) выполняются неравенства \(2^{x^{2}} \geqslant 1 \geqslant \sin x\) — неравенство верно на всей числовой прямой.
2) Так как \(-x^{2} \leqslant 0\), то \(2^{-x^{2}} \leqslant 2^{0} = 1\), а \(|\sin x| + 1 \geqslant 1\), потому что \(|\sin x| \geqslant 0\).
Левая часть не больше 1, правая не меньше 1, поэтому неравенство выполняется, только когда обе части равны 1, то есть равносильно системе
\[\begin{cases}2^{-x^{2}} = 1,\\ |\sin x| + 1 = 1.\end{cases}\]
Из первого уравнения \(-x^{2} = 0\), то есть \(x = 0\); это значение удовлетворяет и второму, так как \(|\sin 0| + 1 = 1\).
3) Выражение \(\sqrt{x}\) имеет смысл при \(x \geqslant 0\), и тогда \(\sqrt{x} \geqslant 0\), поэтому \(2^{\sqrt{x}} \geqslant 2^{0} = 1\), а \(1 - x^{2} \leqslant 1\).
Значит, при каждом \(x \geqslant 0\) выполняются неравенства \(2^{\sqrt{x}} \geqslant 1 \geqslant 1 - x^{2}\) — неравенство верно на всей области определения.
Ответ: 1) \(\mathbf{R}\); 2) \(\{0\}\); 3) \([0;\ +\infty)\).
Решите неравенство: 1) \(2^{x^{2}} \ge \sin x\); 2) \(2^{-x^{2}} \ge |\sin x| + 1\); 3) \(2^{\sqrt{x}} \ge 1 - x^{2}\).
1) Так как \(x^{2} \geqslant 0\), а показательная функция \(y = 2^{t}\) возрастающая, то \(2^{x^{2}} \geqslant 2^{0} = 1\). В то же время \(\sin x \leqslant 1\) при всех \(x\).
Значит, при каждом действительном \(x\) выполняются неравенства \(2^{x^{2}} \geqslant 1 \geqslant \sin x\), то есть данное неравенство верно на всей числовой прямой.
2) Так как \(-x^{2} \leqslant 0\), а показательная функция \(y = 2^{t}\) возрастающая, то \(2^{-x^{2}} \leqslant 2^{0} = 1\). В то же время \(|\sin x| + 1 \geqslant 1\), потому что \(|\sin x| \geqslant 0\).
Левая часть не больше 1, а правая не меньше 1, поэтому неравенство выполняется только тогда, когда обе части равны 1, то есть оно равносильно системе
\[\begin{cases}2^{-x^{2}} = 1,\\ |\sin x| + 1 = 1.\end{cases}\]
Возрастающая показательная функция принимает значение 1 только при показателе 0, поэтому из первого уравнения \(-x^{2} = 0\), то есть \(x = 0\). Это значение удовлетворяет и второму уравнению, так как \(|\sin 0| + 1 = 1\).
3) Выражение \(\sqrt{x}\) имеет смысл при \(x \geqslant 0\), и тогда \(\sqrt{x} \geqslant 0\), поэтому \(2^{\sqrt{x}} \geqslant 2^{0} = 1\). В то же время \(1 - x^{2} \leqslant 1\), потому что \(x^{2} \geqslant 0\).
Значит, при каждом \(x \geqslant 0\) выполняются неравенства \(2^{\sqrt{x}} \geqslant 1 \geqslant 1 - x^{2}\), то есть данное неравенство верно на всей области определения.
Ответ: 1) \(\mathbf{R}\); 2) \(\{0\}\); 3) \([0;\ +\infty)\).
