Страница 15 номер 1.42, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Решите уравнение: 1) \(2^{\cos x} = x^{2} + 2\); 2) \(2^{\sqrt{x}} = \cos x\).
1) Так как \(\cos x \leqslant 1\), а функция \(y = 2^{t}\) возрастающая, то \(2^{\cos x} \leqslant 2^{1} = 2\), а \(x^{2} + 2 \geqslant 2\) при всех \(x\).
Левая часть не больше 2, правая не меньше 2, поэтому уравнение равносильно системе
\[\begin{cases}2^{\cos x} = 2,\\ x^{2} + 2 = 2.\end{cases}\]
Второе уравнение даёт \(x = 0\); это значение удовлетворяет и первому: \(\cos 0 = 1\) и \(2^{1} = 2\).
2) Выражение \(\sqrt{x}\) имеет смысл при \(x \geqslant 0\), и тогда \(\sqrt{x} \geqslant 0\), поэтому \(2^{\sqrt{x}} \geqslant 2^{0} = 1\), а \(\cos x \leqslant 1\).
Левая часть не меньше 1, правая не больше 1, поэтому уравнение равносильно системе
\[\begin{cases}2^{\sqrt{x}} = 1,\\ \cos x = 1.\end{cases}\]
Из первого уравнения \(\sqrt{x} = 0\), то есть \(x = 0\); это значение удовлетворяет и второму, так как \(\cos 0 = 1\).
Ответ: 1) 0; 2) 0.
Решите уравнение: 1) \(2^{\cos x} = x^{2} + 2\); 2) \(2^{\sqrt{x}} = \cos x\).
1) Оценим обе части. Так как \(\cos x \leqslant 1\), а показательная функция \(y = 2^{t}\) возрастающая, то \(2^{\cos x} \leqslant 2^{1} = 2\). В то же время \(x^{2} + 2 \geqslant 2\) при всех \(x\), потому что \(x^{2} \geqslant 0\).
Левая часть не больше 2, а правая не меньше 2, поэтому уравнение равносильно системе
\[\begin{cases}2^{\cos x} = 2,\\ x^{2} + 2 = 2.\end{cases}\]
Второе уравнение системы даёт \(x = 0\). Это значение удовлетворяет и первому уравнению: \(\cos 0 = 1\) и \(2^{1} = 2\).
2) Выражение \(\sqrt{x}\) имеет смысл при \(x \geqslant 0\), и тогда \(\sqrt{x} \geqslant 0\). Показательная функция \(y = 2^{t}\) возрастающая, поэтому \(2^{\sqrt{x}} \geqslant 2^{0} = 1\). В то же время \(\cos x \leqslant 1\).
Левая часть не меньше 1, а правая не больше 1, поэтому уравнение равносильно системе
\[\begin{cases}2^{\sqrt{x}} = 1,\\ \cos x = 1.\end{cases}\]
Возрастающая показательная функция принимает значение 1 только при показателе 0, поэтому из первого уравнения \(\sqrt{x} = 0\), то есть \(x = 0\). Это значение удовлетворяет и второму уравнению, так как \(\cos 0 = 1\).
Ответ: 1) 0; 2) 0.
