Страница 15 номер 1.41, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Найдите область значений функции \(f(x) = 3^{(\sin x \cos x)}\).
\(\sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin 2x\).
Значение \(\sin 2x\) пробегает весь отрезок \([-1;\ 1]\), поэтому показатель \(\frac{1}{2}\sin 2x\) принимает все значения отрезка \(\left[-\frac{1}{2};\ \frac{1}{2}\right]\) и только их.
Функция \(y = 3^{t}\) возрастающая, поэтому значения степени пробегают отрезок \(\left[3^{-\frac{1}{2}};\ 3^{\frac{1}{2}}\right]\), а \(3^{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}\) и \(3^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\) — областью значений служит отрезок \(\left[\frac{\sqrt{3}}{3};\ \sqrt{3}\right]\).
Ответ: \(\left[\frac{\sqrt{3}}{3};\ \sqrt{3}\right]\).
Найдите область значений функции \(f(x) = 3^{(\sin x \cos x)}\).
Преобразуем показатель по формуле синуса двойного угла: \(\sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin 2x\).
Значение \(\sin 2x\) пробегает весь отрезок \([-1;\ 1]\), поэтому показатель \(\frac{1}{2}\sin 2x\) принимает все значения из отрезка \(\left[-\frac{1}{2};\ \frac{1}{2}\right]\) и никаких других.
Показательная функция \(y = 3^{t}\) возрастающая, поэтому значения степени пробегают отрезок \(\left[3^{-\frac{1}{2}};\ 3^{\frac{1}{2}}\right]\). Так как \(3^{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}\), а \(3^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\), областью значений служит отрезок \(\left[\frac{\sqrt{3}}{3};\ \sqrt{3}\right]\).
Ответ: \(\left[\frac{\sqrt{3}}{3};\ \sqrt{3}\right]\).
