Страница 15 номер 1.43, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Решите уравнение: 1) \(\left(\frac{1}{2}\right)^{|x|} = x^{2} + 1\); 2) \(2^{|x|} = \cos x\).
1) Так как \(|x| \geqslant 0\), а функция \(y = \left(\frac{1}{2}\right)^{t}\) убывающая (основание меньше единицы), то \(\left(\frac{1}{2}\right)^{|x|} \leqslant \left(\frac{1}{2}\right)^{0} = 1\), а \(x^{2} + 1 \geqslant 1\) при всех \(x\).
Левая часть не больше 1, правая не меньше 1, поэтому уравнение равносильно системе
\[\begin{cases}\left(\frac{1}{2}\right)^{|x|} = 1,\\ x^{2} + 1 = 1.\end{cases}\]
Второе уравнение даёт \(x = 0\); это значение удовлетворяет и первому: \(\left(\frac{1}{2}\right)^{0} = 1\).
2) Так как \(|x| \geqslant 0\), а функция \(y = 2^{t}\) возрастающая, то \(2^{|x|} \geqslant 2^{0} = 1\), а \(\cos x \leqslant 1\).
Левая часть не меньше 1, правая не больше 1, поэтому уравнение равносильно системе
\[\begin{cases}2^{|x|} = 1,\\ \cos x = 1.\end{cases}\]
Из первого уравнения \(|x| = 0\), то есть \(x = 0\); это значение удовлетворяет и второму, так как \(\cos 0 = 1\).
Ответ: 1) 0; 2) 0.
Решите уравнение: 1) \(\left(\frac{1}{2}\right)^{|x|} = x^{2} + 1\); 2) \(2^{|x|} = \cos x\).
1) Так как \(|x| \geqslant 0\), а показательная функция \(y = \left(\frac{1}{2}\right)^{t}\) убывающая (основание меньше единицы), то \(\left(\frac{1}{2}\right)^{|x|} \leqslant \left(\frac{1}{2}\right)^{0} = 1\). В то же время \(x^{2} + 1 \geqslant 1\) при всех \(x\).
Левая часть не больше 1, а правая не меньше 1, поэтому уравнение равносильно системе
\[\begin{cases}\left(\frac{1}{2}\right)^{|x|} = 1,\\ x^{2} + 1 = 1.\end{cases}\]
Второе уравнение системы даёт \(x = 0\). Это значение удовлетворяет и первому уравнению: \(\left(\frac{1}{2}\right)^{0} = 1\).
2) Так как \(|x| \geqslant 0\), а показательная функция \(y = 2^{t}\) возрастающая, то \(2^{|x|} \geqslant 2^{0} = 1\). В то же время \(\cos x \leqslant 1\).
Левая часть не меньше 1, а правая не больше 1, поэтому уравнение равносильно системе
\[\begin{cases}2^{|x|} = 1,\\ \cos x = 1.\end{cases}\]
Из первого уравнения \(|x| = 0\), то есть \(x = 0\). Это значение удовлетворяет и второму уравнению, так как \(\cos 0 = 1\).
Ответ: 1) 0; 2) 0.
