Страница 16 номер 1.51, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Найдите область значений функции \(y = \frac{3^{x}}{3^{x} - 9}\).
Знаменатель не равен нулю: \(3^{x} - 9 \ne 0\), то есть \(3^{x} \ne 9\), откуда \(x \ne 2\).
Пусть \(t = 3^{x}\); показательная функция принимает все положительные значения и только их, поэтому \(t\) пробегает промежуток \((0;\ +\infty)\), кроме числа 9, и \(y = \frac{t}{t - 9}\).
Число \(y\) входит в область значений тогда и только тогда, когда уравнение \(\frac{t}{t - 9} = y\) имеет корень \(t > 0\), \(t \ne 9\).
Умножим обе части на \(t - 9\) (это число не равно нулю):
\[t = y(t - 9),\qquad t - yt = -9y,\qquad t(1 - y) = -9y.\]
При \(t = 9\) левая часть равенства \(t = y(t - 9)\) равна 9, а правая равна нулю, поэтому \(t = 9\) корнем быть не может: условие \(t \ne 9\) выполняется само собой.
При \(y = 1\) левая часть равенства \(t(1 - y) = -9y\) равна нулю, а правая равна \(-9\), корней нет: значение 1 функция не принимает.
При \(y \ne 1\) получаем \(t = \frac{-9y}{1 - y} = \frac{9y}{y - 1}\), и остаётся потребовать \(\frac{9y}{y - 1} > 0\).
Дробь положительна тогда же, когда положительно произведение \(y(y - 1)\); его нули — числа 0 и 1, а само произведение положительно вне отрезка между ними, то есть при \(y < 0\) и при \(y > 1\). Значение \(y = 0\) в область значений не входит: ему отвечало бы \(t = 0\), а степень \(3^{x}\) нулю не равна.
Ответ: \((-\infty;\ 0) \cup (1;\ +\infty)\).
Найдите область значений функции \(y = \frac{3^{x}}{3^{x} - 9}\).
Знаменатель не должен обращаться в нуль: \(3^{x} - 9 \ne 0\), то есть \(3^{x} \ne 9\), откуда \(x \ne 2\).
Обозначим \(t = 3^{x}\). Показательная функция принимает все положительные значения и никаких других, поэтому переменная \(t\) пробегает все числа промежутка \((0;\ +\infty)\), кроме числа 9, а функция записывается в виде \(y = \frac{t}{t - 9}\).
Число \(y\) принадлежит области значений функции тогда и только тогда, когда уравнение \(\frac{t}{t - 9} = y\) имеет хотя бы один корень \(t\), для которого \(t > 0\) и \(t \ne 9\).
Умножим обе части этого уравнения на \(t - 9\) (это число не равно нулю):
\[t = y(t - 9),\qquad t - yt = -9y,\qquad t(1 - y) = -9y.\]
Значение \(t = 9\) корнем быть не может: при \(t = 9\) левая часть равенства \(t = y(t - 9)\) равна 9, а правая равна нулю. Значит, условие \(t \ne 9\) выполняется само собой.
Если \(y = 1\), то левая часть равенства \(t(1 - y) = -9y\) равна нулю, а правая равна \(-9\), поэтому корней нет: значение 1 функция не принимает.
Если \(y \ne 1\), то \(t = \frac{-9y}{1 - y} = \frac{9y}{y - 1}\), и остаётся потребовать, чтобы это число было положительным:
\[\frac{9y}{y - 1} > 0.\]
Дробь положительна тогда же, когда положительно произведение \(y(y - 1)\). Его нули — числа 0 и 1, а само произведение положительно вне отрезка между ними, то есть при \(y < 0\) и при \(y > 1\). Значение \(y = 0\) в область значений не входит: ему отвечало бы \(t = 0\), а степень \(3^{x}\) нулю не равна.
Ответ: \((-\infty;\ 0) \cup (1;\ +\infty)\).
