Страница 16 номер 1.50, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Найдите область значений функции \(y = \frac{2^{x} - 1}{2^{x} - 4}\).
Знаменатель не равен нулю: \(2^{x} - 4 \ne 0\), то есть \(2^{x} \ne 4\), откуда \(x \ne 2\).
Пусть \(t = 2^{x}\); показательная функция принимает все положительные значения и только их, поэтому \(t\) пробегает промежуток \((0;\ +\infty)\), кроме числа 4, и \(y = \frac{t - 1}{t - 4}\).
Число \(y\) входит в область значений тогда и только тогда, когда уравнение \(\frac{t - 1}{t - 4} = y\) имеет корень \(t > 0\), \(t \ne 4\).
Умножим обе части на \(t - 4\) (это число не равно нулю):
\[t - 1 = y(t - 4),\qquad t - yt = 1 - 4y,\qquad t(1 - y) = 1 - 4y.\]
При \(t = 4\) левая часть равенства \(t - 1 = y(t - 4)\) равна 3, а правая равна нулю, поэтому \(t = 4\) корнем быть не может: условие \(t \ne 4\) выполняется само собой.
При \(y = 1\) левая часть равенства \(t(1 - y) = 1 - 4y\) равна нулю, а правая равна \(-3\), корней нет: значение 1 функция не принимает.
При \(y \ne 1\) получаем \(t = \frac{1 - 4y}{1 - y}\), и остаётся потребовать \(\frac{1 - 4y}{1 - y} > 0\). Умножим числитель и знаменатель на \(-1\) — знак дроби не изменится: \(\frac{4y - 1}{y - 1} > 0\).
Дробь положительна тогда же, когда положительно произведение \((4y - 1)(y - 1)\); его нули — числа \(\frac{1}{4}\) и 1, а само произведение положительно вне отрезка между ними, то есть при \(y < \frac{1}{4}\) и при \(y > 1\).
Ответ: \(\left(-\infty;\ \frac{1}{4}\right) \cup (1;\ +\infty)\).
Найдите область значений функции \(y = \frac{2^{x} - 1}{2^{x} - 4}\).
Знаменатель не должен обращаться в нуль: \(2^{x} - 4 \ne 0\), то есть \(2^{x} \ne 4\), откуда \(x \ne 2\).
Обозначим \(t = 2^{x}\). Показательная функция принимает все положительные значения и никаких других, поэтому переменная \(t\) пробегает все числа промежутка \((0;\ +\infty)\), кроме числа 4, а функция записывается в виде \(y = \frac{t - 1}{t - 4}\).
Число \(y\) принадлежит области значений функции тогда и только тогда, когда уравнение \(\frac{t - 1}{t - 4} = y\) имеет хотя бы один корень \(t\), для которого \(t > 0\) и \(t \ne 4\).
Умножим обе части этого уравнения на \(t - 4\) (это число не равно нулю):
\[t - 1 = y(t - 4),\qquad t - yt = 1 - 4y,\qquad t(1 - y) = 1 - 4y.\]
Значение \(t = 4\) корнем быть не может: при \(t = 4\) левая часть равенства \(t - 1 = y(t - 4)\) равна 3, а правая равна нулю. Значит, условие \(t \ne 4\) выполняется само собой.
Если \(y = 1\), то левая часть равенства \(t(1 - y) = 1 - 4y\) равна нулю, а правая равна \(-3\), поэтому корней нет: значение 1 функция не принимает.
Если \(y \ne 1\), то \(t = \frac{1 - 4y}{1 - y}\), и остаётся потребовать, чтобы это число было положительным:
\[\frac{1 - 4y}{1 - y} > 0.\]
Умножим числитель и знаменатель дроби на \(-1\) — знак дроби от этого не изменится: \(\frac{4y - 1}{y - 1} > 0\). Дробь положительна тогда же, когда положительно произведение \((4y - 1)(y - 1)\). Его нули — числа \(\frac{1}{4}\) и 1, а само произведение положительно вне отрезка между ними, то есть при \(y < \frac{1}{4}\) и при \(y > 1\).
Ответ: \(\left(-\infty;\ \frac{1}{4}\right) \cup (1;\ +\infty)\).
