Страница 15 номер 1.39, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Сравните \((7 + 4\sqrt{3})^{-5{,}2}\) и \((7 - 4\sqrt{3})^{5{,}6}\).
Основания степеней взаимно обратны:
\[(7 + 4\sqrt{3})(7 - 4\sqrt{3}) = 7^{2} - (4\sqrt{3})^{2} = 49 - 48 = 1.\]
Значит, \(7 - 4\sqrt{3} = (7 + 4\sqrt{3})^{-1}\), откуда
\[(7 - 4\sqrt{3})^{5{,}6} = \left((7 + 4\sqrt{3})^{-1}\right)^{5{,}6} = (7 + 4\sqrt{3})^{-5{,}6}.\]
Общее основание \(7 + 4\sqrt{3}\) больше единицы, показательная функция с таким основанием возрастающая, а \(-5{,}2 > -5{,}6\), поэтому
\[(7 + 4\sqrt{3})^{-5{,}2} > (7 + 4\sqrt{3})^{-5{,}6}.\]
Ответ: \((7 + 4\sqrt{3})^{-5{,}2} > (7 - 4\sqrt{3})^{5{,}6}\).
Сравните \((7 + 4\sqrt{3})^{-5{,}2}\) и \((7 - 4\sqrt{3})^{5{,}6}\).
Основания степеней взаимно обратны:
\[(7 + 4\sqrt{3})(7 - 4\sqrt{3}) = 7^{2} - (4\sqrt{3})^{2} = 49 - 48 = 1.\]
Значит, \(7 - 4\sqrt{3} = \frac{1}{7 + 4\sqrt{3}} = (7 + 4\sqrt{3})^{-1}\), и по свойству степени \((x^{\alpha})^{\beta} = x^{\alpha\beta}\) получаем
\[(7 - 4\sqrt{3})^{5{,}6} = \left((7 + 4\sqrt{3})^{-1}\right)^{5{,}6} = (7 + 4\sqrt{3})^{-5{,}6}.\]
Теперь обе степени имеют одно и то же основание \(7 + 4\sqrt{3}\), и оно больше единицы, так как \(4\sqrt{3} > 0\). Показательная функция с основанием, большим единицы, возрастающая, а \(-5{,}2 > -5{,}6\), поэтому
\[(7 + 4\sqrt{3})^{-5{,}2} > (7 + 4\sqrt{3})^{-5{,}6}.\]
Ответ: \((7 + 4\sqrt{3})^{-5{,}2} > (7 - 4\sqrt{3})^{5{,}6}\).
