Страница 15 номер 1.32, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Постройте график функции \(y = \sqrt{2^{\cos x} - 2}\).
Подкоренное выражение неотрицательно: \(2^{\cos x} - 2 \geqslant 0\), то есть \(2^{\cos x} \geqslant 2\).
С другой стороны, \(\cos x \leqslant 1\), а функция \(y = 2^{t}\) возрастающая, поэтому \(2^{\cos x} \leqslant 2^{1} = 2\).
Оба неравенства выполняются одновременно только при \(2^{\cos x} = 2\), откуда \(\cos x = 1\) и \(x = 2\pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\). При таких \(x\) получаем \(y = \sqrt{2^{1} - 2} = \sqrt{0} = 0\).
Значит, область определения — числа вида \(2\pi k\), а график — отдельные точки \((2\pi k;\ 0)\), \(k \in \mathbf{Z}\), на оси \(Ox\): никакой линии он не образует.
Постройте график функции \(y = \sqrt{2^{\cos x} - 2}\).
Функция определена при тех значениях \(x\), при которых подкоренное выражение неотрицательно, то есть при \(2^{\cos x} - 2 \geqslant 0\), или \(2^{\cos x} \geqslant 2\).
С другой стороны, \(\cos x \leqslant 1\) при всех \(x\), а показательная функция \(y = 2^{t}\) возрастающая, поэтому \(2^{\cos x} \leqslant 2^{1} = 2\).
Оба неравенства выполняются одновременно только при \(2^{\cos x} = 2\). Возрастающая функция каждое своё значение принимает не более чем при одном значении показателя, а значение 2 она принимает при показателе 1, поэтому \(\cos x = 1\), откуда \(x = 2\pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\).
При таких значениях \(x\) получаем \(y = \sqrt{2^{1} - 2} = \sqrt{0} = 0\).
Значит, областью определения служит множество чисел вида \(2\pi k\), а графиком — множество отдельных точек \((2\pi k;\ 0)\), \(k \in \mathbf{Z}\), лежащих на оси \(Ox\); никакой линии график не образует.
