Страница 15 номер 1.37, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Постройте график функции: 1) \(y = |2^{-|x|} - 1|\); 2) \(y = \frac{2^{|x|} - 1}{|2^{x} - 1|}\).
1) Показатель \(-|x|\) неположителен, а функция \(y = 2^{t}\) возрастающая, поэтому \(2^{-|x|} \leqslant 2^{0} = 1\): выражение под знаком модуля неположительно, модуль раскрывается со знаком «минус», \(y = 1 - 2^{-|x|}\).
Эта функция определена при всех \(x\) и чётная, так как \(|-x| = |x|\). При \(x \geqslant 0\) имеем \(y = 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{x}\): значения возрастают от 0, оставаясь меньшими единицы, и прямая \(y = 1\) служит горизонтальной асимптотой. Левая часть графика симметрична правой относительно оси \(Oy\), наименьшее значение 0 достигается при \(x = 0\).
2) Знаменатель не равен нулю: \(|2^{x} - 1| \ne 0\), то есть \(2^{x} \ne 1\), откуда \(x \ne 0\).
При \(x > 0\) имеем \(2^{x} > 1\), поэтому \(|2^{x} - 1| = 2^{x} - 1\), а \(|x| = x\), и \(y = \frac{2^{x} - 1}{2^{x} - 1} = 1\).
При \(x < 0\) имеем \(2^{x} < 1\), поэтому \(|2^{x} - 1| = 1 - 2^{x}\), а \(|x| = -x\), и
\[\begin{aligned} &y = \frac{2^{-x} - 1}{1 - 2^{x}} = \frac{\frac{1}{2^{x}} - 1}{1 - 2^{x}} = {} \\ &= \frac{1 - 2^{x}}{2^{x}(1 - 2^{x})} = \frac{1}{2^{x}} = \left(\frac{1}{2}\right)^{x}. \end{aligned}\]
Значит, при \(x < 0\) графиком служит часть графика функции \(y = \left(\frac{1}{2}\right)^{x}\), а при \(x > 0\) — часть прямой \(y = 1\); точка \((0;\ 1)\) графику не принадлежит и потому выколота.
Постройте график функции: 1) \(y = |2^{-|x|} - 1|\); 2) \(y = \frac{2^{|x|} - 1}{|2^{x} - 1|}\).
1) Показатель \(-|x|\) неположителен, а показательная функция \(y = 2^{t}\) возрастающая, поэтому \(2^{-|x|} \leqslant 2^{0} = 1\). Значит, выражение под знаком модуля неположительно и модуль раскрывается со знаком «минус»: \(y = 1 - 2^{-|x|}\).
Полученная функция определена при всех действительных \(x\) и чётная, так как \(|-x| = |x|\). При \(x \geqslant 0\) имеем \(y = 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{x}\): значения возрастают от 0, оставаясь меньшими единицы, и прямая \(y = 1\) служит горизонтальной асимптотой. Левая часть графика симметрична правой относительно оси \(Oy\), наименьшее значение 0 достигается при \(x = 0\).
2) Функция определена при тех значениях \(x\), при которых знаменатель не равен нулю: \(|2^{x} - 1| \ne 0\), то есть \(2^{x} \ne 1\). Возрастающая показательная функция принимает значение 1 только при показателе 0, поэтому \(x \ne 0\).
При \(x > 0\) имеем \(2^{x} > 1\), поэтому \(|2^{x} - 1| = 2^{x} - 1\), а \(|x| = x\). Тогда \(y = \frac{2^{x} - 1}{2^{x} - 1} = 1\).
При \(x < 0\) имеем \(2^{x} < 1\), поэтому \(|2^{x} - 1| = 1 - 2^{x}\), а \(|x| = -x\). Тогда
\[\begin{aligned} &y = \frac{2^{-x} - 1}{1 - 2^{x}} = \frac{\frac{1}{2^{x}} - 1}{1 - 2^{x}} = {} \\ &= \frac{1 - 2^{x}}{2^{x}(1 - 2^{x})} = \frac{1}{2^{x}} = \left(\frac{1}{2}\right)^{x}. \end{aligned}\]
Значит, при \(x < 0\) графиком служит часть графика показательной функции \(y = \left(\frac{1}{2}\right)^{x}\), а при \(x > 0\) — часть прямой \(y = 1\); точка \((0;\ 1)\) графику не принадлежит и потому выколота.
