Страница 15 номер 1.35, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Решите неравенство: 1) \(2^{\operatorname{tg} x} > 0\); 2) \(2^{\arcsin x} > -\frac{\pi}{4}\); 3) \(2^{\arccos x} > \arccos x - \pi\).
Левая часть каждого неравенства положительна при любом показателе; остаётся выяснить, при каких \(x\) обе части имеют смысл.
1) Выражение \(2^{\operatorname{tg} x}\) имеет смысл при \(x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\), и при каждом таком \(x\) выполняется \(2^{\operatorname{tg} x} > 0\) — неравенство верно.
2) Выражение \(\arcsin x\) определено при \(-1 \leqslant x \leqslant 1\), и при каждом таком \(x\) выполняются неравенства \(2^{\arcsin x} > 0 > -\frac{\pi}{4}\) — неравенство верно.
3) Выражение \(\arccos x\) определено при \(-1 \leqslant x \leqslant 1\), причём \(0 \leqslant \arccos x \leqslant \pi\), поэтому правая часть неположительна: \(\arccos x - \pi \leqslant 0\), а левая положительна: \(2^{\arccos x} > 0\). Значит, неравенство верно при каждом \(x\) из отрезка \([-1;\ 1]\).
Ответ: 1) \(x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\); 2) \([-1;\ 1]\); 3) \([-1;\ 1]\).
Решите неравенство: 1) \(2^{\operatorname{tg} x} > 0\); 2) \(2^{\arcsin x} > -\frac{\pi}{4}\); 3) \(2^{\arccos x} > \arccos x - \pi\).
Значение показательной функции положительно при любом показателе, поэтому левая часть каждого из неравенств положительна. Остаётся выяснить, при каких значениях \(x\) обе части имеют смысл.
1) Выражение \(2^{\operatorname{tg} x}\) имеет смысл тогда, когда определён \(\operatorname{tg} x\), то есть при \(x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\). При каждом таком значении \(x\) выполняется неравенство \(2^{\operatorname{tg} x} > 0\), то есть неравенство верно.
2) Выражение \(\arcsin x\) определено при \(-1 \leqslant x \leqslant 1\). При каждом таком значении \(x\) выполняются неравенства \(2^{\arcsin x} > 0 > -\frac{\pi}{4}\), то есть неравенство верно.
3) Выражение \(\arccos x\) определено при \(-1 \leqslant x \leqslant 1\), причём \(0 \leqslant \arccos x \leqslant \pi\). Тогда правая часть неположительна: \(\arccos x - \pi \leqslant 0\), а левая положительна: \(2^{\arccos x} > 0\). Значит, неравенство верно при каждом значении \(x\) из отрезка \([-1;\ 1]\).
Ответ: 1) \(x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\); 2) \([-1;\ 1]\); 3) \([-1;\ 1]\).
