Страница 14 номер 1.30, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Постройте график функции: 1) \(y = 2^{|x|}\); 2) \(y = 2^{|x|} + 1\); 3) \(y = |2^{x} - 1|\); 4) \(y = \left|\frac{1}{2^{x}} - 1\right|\).
1) Функция \(y = 2^{|x|}\) определена при всех \(x\) и чётная, так как \(|-x| = |x|\).
При \(x \geqslant 0\) имеем \(y = 2^{x}\) — правая часть графика совпадает с графиком функции \(y = 2^{x}\), левая симметрична ей относительно оси \(Oy\). Наименьшее значение 1 достигается при \(x = 0\).
2) График функции \(y = 2^{|x|} + 1\) — график \(y = 2^{|x|}\), сдвинутый на единицу вверх. Наименьшее значение 2 достигается при \(x = 0\).
3) График функции \(y = 2^{x} - 1\) — график \(y = 2^{x}\), сдвинутый на единицу вниз; прямая \(y = -1\) — его горизонтальная асимптота.
Функция \(y = 2^{t}\) возрастающая, поэтому при \(x \geqslant 0\) имеем \(2^{x} \geqslant 2^{0} = 1\) и \(|2^{x} - 1| = 2^{x} - 1\), а при \(x < 0\) имеем \(2^{x} < 1\) и \(|2^{x} - 1| = 1 - 2^{x}\).
Значит, часть графика \(y = 2^{x} - 1\), лежащая ниже оси \(Ox\) (это часть при \(x < 0\)), отражается относительно этой оси вверх, а остальная часть остаётся на месте. При \(x < 0\) значения \(1 - 2^{x}\) положительны и меньше 1, поэтому левой ветви прямая \(y = 1\) служит горизонтальной асимптотой.
4) Так как \(\frac{1}{2^{x}} = \left(\frac{1}{2}\right)^{x}\), функция записывается в виде \(y = \left|\left(\frac{1}{2}\right)^{x} - 1\right|\).
Функция \(y = \left(\frac{1}{2}\right)^{t}\) убывающая, поэтому при \(x \leqslant 0\) имеем \(\left(\frac{1}{2}\right)^{x} \geqslant 1\) и модуль раскрывается со знаком «плюс»: \(y = \left(\frac{1}{2}\right)^{x} - 1\); при \(x > 0\) имеем \(\left(\frac{1}{2}\right)^{x} < 1\) и \(y = 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{x}\).
Значит, часть графика \(y = \left(\frac{1}{2}\right)^{x} - 1\), лежащая ниже оси \(Ox\) (при \(x > 0\)), отражается относительно этой оси вверх. Правой ветви прямая \(y = 1\) служит горизонтальной асимптотой.
Постройте график функции: 1) \(y = 2^{|x|}\); 2) \(y = 2^{|x|} + 1\); 3) \(y = |2^{x} - 1|\); 4) \(y = \left|\frac{1}{2^{x}} - 1\right|\).
1) Функция \(y = 2^{|x|}\) чётная: её область определения — все действительные числа, а при замене \(x\) на \(-x\) значение не меняется, так как \(|-x| = |x|\).
При \(x \geqslant 0\) имеем \(|x| = x\), то есть \(y = 2^{x}\). Значит, правая часть графика совпадает с графиком показательной функции \(y = 2^{x}\), а левая симметрична ей относительно оси \(Oy\). Наименьшее значение функции равно 1 и достигается при \(x = 0\).
2) График функции \(y = 2^{|x|} + 1\) получается сдвигом графика функции \(y = 2^{|x|}\) на одну единицу вверх. Наименьшее значение равно 2 и достигается при \(x = 0\).
3) График функции \(y = 2^{x} - 1\) получается сдвигом графика функции \(y = 2^{x}\) на одну единицу вниз; прямая \(y = -1\) — его горизонтальная асимптота.
Раскроем модуль. Показательная функция \(y = 2^{t}\) возрастающая, поэтому при \(x \geqslant 0\) выполняется неравенство \(2^{x} \geqslant 2^{0} = 1\) и \(|2^{x} - 1| = 2^{x} - 1\), а при \(x < 0\) выполняется неравенство \(2^{x} < 1\) и \(|2^{x} - 1| = 1 - 2^{x}\).
Значит, та часть графика функции \(y = 2^{x} - 1\), которая лежит ниже оси \(Ox\) (это часть при \(x < 0\)), отражается относительно оси \(Ox\) вверх, а остальная часть остаётся на месте. При \(x < 0\) значения \(1 - 2^{x}\) положительны и меньше 1, поэтому левой ветви графика прямая \(y = 1\) служит горизонтальной асимптотой.
4) Так как \(\frac{1}{2^{x}} = \left(\frac{1}{2}\right)^{x}\), данная функция записывается в виде \(y = \left|\left(\frac{1}{2}\right)^{x} - 1\right|\).
Функция \(y = \left(\frac{1}{2}\right)^{t}\) убывающая, поэтому при \(x \leqslant 0\) выполняется неравенство \(\left(\frac{1}{2}\right)^{x} \geqslant 1\) и модуль раскрывается со знаком «плюс»: \(y = \left(\frac{1}{2}\right)^{x} - 1\); при \(x > 0\) выполняется неравенство \(\left(\frac{1}{2}\right)^{x} < 1\) и \(y = 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{x}\).
Значит, у графика функции \(y = \left(\frac{1}{2}\right)^{x} - 1\) часть, лежащая ниже оси \(Ox\) (она отвечает значениям \(x > 0\)), отражается относительно этой оси вверх. Правой ветви графика прямая \(y = 1\) служит горизонтальной асимптотой.
