Страница 14 номер 1.31, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Постройте график функции: 1) \(y = \frac{1}{3^{|x|}}\); 2) \(y = 3^{|x|} - 1\); 3) \(y = |3^{x} - 1|\).
1) Так как \(\frac{1}{3^{|x|}} = \left(\frac{1}{3}\right)^{|x|}\), функция определена при всех \(x\) и чётная: \(|-x| = |x|\).
При \(x \geqslant 0\) имеем \(y = \left(\frac{1}{3}\right)^{x}\) — правая часть графика совпадает с графиком показательной функции с основанием \(\frac{1}{3}\), левая симметрична ей относительно оси \(Oy\). Наибольшее значение 1 достигается при \(x = 0\); при удалении от нуля значения убывают, оставаясь положительными, и ось \(Ox\) — горизонтальная асимптота обеих ветвей.
2) Функция \(y = 3^{|x|} - 1\) чётная. При \(x \geqslant 0\) имеем \(y = 3^{x} - 1\) — правая часть графика есть график \(y = 3^{x}\), сдвинутый на единицу вниз, левая симметрична правой относительно оси \(Oy\). Наименьшее значение 0 достигается при \(x = 0\).
3) Функция \(y = 3^{t}\) возрастающая, поэтому при \(x \geqslant 0\) имеем \(3^{x} \geqslant 3^{0} = 1\) и \(|3^{x} - 1| = 3^{x} - 1\), а при \(x < 0\) имеем \(3^{x} < 1\) и \(|3^{x} - 1| = 1 - 3^{x}\).
Значит, часть графика \(y = 3^{x} - 1\), лежащая ниже оси \(Ox\) (при \(x < 0\)), отражается относительно этой оси вверх. При \(x < 0\) значения \(1 - 3^{x}\) положительны и меньше 1, поэтому левой ветви прямая \(y = 1\) служит горизонтальной асимптотой.
Постройте график функции: 1) \(y = \frac{1}{3^{|x|}}\); 2) \(y = 3^{|x|} - 1\); 3) \(y = |3^{x} - 1|\).
1) Так как \(\frac{1}{3^{|x|}} = \left(\frac{1}{3}\right)^{|x|}\), функция определена при всех действительных \(x\) и является чётной: \(|-x| = |x|\).
При \(x \geqslant 0\) имеем \(y = \left(\frac{1}{3}\right)^{x}\), то есть правая часть графика совпадает с графиком показательной функции с основанием \(\frac{1}{3}\), а левая симметрична ей относительно оси \(Oy\). Наибольшее значение функции равно 1 и достигается при \(x = 0\); при удалении от нуля значения убывают, оставаясь положительными, и ось \(Ox\) служит горизонтальной асимптотой для обеих ветвей.
2) Функция \(y = 3^{|x|} - 1\) чётная. При \(x \geqslant 0\) имеем \(y = 3^{x} - 1\), то есть правая часть графика — это график функции \(y = 3^{x}\), сдвинутый на одну единицу вниз; левая часть симметрична правой относительно оси \(Oy\). Наименьшее значение функции равно 0 и достигается при \(x = 0\).
3) Показательная функция \(y = 3^{t}\) возрастающая, поэтому при \(x \geqslant 0\) выполняется неравенство \(3^{x} \geqslant 3^{0} = 1\) и \(|3^{x} - 1| = 3^{x} - 1\), а при \(x < 0\) выполняется неравенство \(3^{x} < 1\) и \(|3^{x} - 1| = 1 - 3^{x}\).
Значит, у графика функции \(y = 3^{x} - 1\) часть, лежащая ниже оси \(Ox\) (она отвечает значениям \(x < 0\)), отражается относительно этой оси вверх. При \(x < 0\) значения \(1 - 3^{x}\) положительны и меньше 1, поэтому левой ветви прямая \(y = 1\) служит горизонтальной асимптотой.
