Страница 14 номер 1.28, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Определите графически количество корней уравнения: 1) \(2^{x} = x\); 2) \(2^{x} = x^{2}\); 3) \(2^{x} = \sin x\); 4) \(2^{-x} = 2 - x^{2}\).
1) Построим графики функций \(y = 2^{x}\) и \(y = x\).
Кривая \(y = 2^{x}\) целиком лежит выше прямой \(y = x\): при \(x \leqslant 0\) верно \(2^{x} > 0 \geqslant x\), при \(0 < x \leqslant 1\) — \(2^{x} > 2^{0} = 1 \geqslant x\), при \(1 < x \leqslant 2\) — \(2^{x} > 2^{1} = 2 \geqslant x\), а при \(x > 2\) кривая поднимается круче прямой и остаётся над ней. Общих точек нет, уравнение не имеет корней.
2) Построим графики функций \(y = 2^{x}\) и \(y = x^{2}\).
Общих точек три. Две находим точно: при \(x = 2\) обе функции равны 4, при \(x = 4\) — равны 16 (\(2^{4} = 16\), \(4^{2} = 16\)). Третья — между \(-1\) и 0: при \(x = -1\) кривая ниже параболы (\(2^{-1} = \frac{1}{2}\), а \((-1)^{2} = 1\)), при \(x = 0\) выше (\(2^{0} = 1\), а \(0^{2} = 0\)); на \([-1;\ 0]\) показательная функция возрастает, а парабола убывает, поэтому общая точка одна. Уравнение имеет три корня.
3) Построим графики функций \(y = 2^{x}\) и \(y = \sin x\).
При неограниченном убывании \(x\) значения \(2^{x}\) сколь угодно малы, но положительны, а синусоида бесконечно много раз принимает каждое значение из \((0;\ 1]\). Возьмём целое отрицательное \(k\) и отрезок \(\left[2\pi k;\ \frac{\pi}{2} + 2\pi k\right]\): в левом конце \(\sin x = 0\), а \(2^{x} > 0\) — кривая выше синусоиды; в правом конце \(\sin x = 1\), а \(2^{x} < 2^{0} = 1\) — кривая ниже. Значит, на каждом таком отрезке есть общая точка, а отрезков бесконечно много. Уравнение имеет бесконечно много корней.
4) Построим графики функций \(y = 2^{-x}\) и \(y = 2 - x^{2}\).
Общих точек две. Первая — между \(-1\) и 0: при \(x = -1\) кривая выше параболы (\(2^{1} = 2\), а \(2 - (-1)^{2} = 1\)), при \(x = 0\) ниже (\(2^{0} = 1\), а \(2 - 0^{2} = 2\)); на \([-1;\ 0]\) показательная функция убывает, а парабола возрастает, поэтому общая точка одна. Вторая — между 1 и 2: при \(x = 1\) кривая ниже параболы (\(2^{-1} = \frac{1}{2}\), а \(2 - 1 = 1\)), при \(x = 2\) выше (\(2^{-2} = \frac{1}{4}\), а \(2 - 4 = -2\)).
Других общих точек нет: при \(x < -1\) верно \(2^{-x} > 2^{1} = 2\), а \(2 - x^{2} < 1\); на \([0;\ 1]\) верно \(2^{-x} \leqslant 2^{0} = 1\) и \(2 - x^{2} \geqslant 2 - 1 = 1\), причём равенство единице достигается для показательной функции только при \(x = 0\), а для параболы — только при \(x = 1\); при \(x > 2\) значения \(2^{-x}\) положительны, а \(2 - x^{2} < 2 - 4 < 0\). Уравнение имеет два корня.
Ответ: 1) корней нет; 2) 3 корня; 3) бесконечно много корней; 4) 2 корня.
Определите графически количество корней уравнения: 1) \(2^{x} = x\); 2) \(2^{x} = x^{2}\); 3) \(2^{x} = \sin x\); 4) \(2^{-x} = 2 - x^{2}\).
1) Построим в одной системе координат графики функций \(y = 2^{x}\) и \(y = x\).
Кривая \(y = 2^{x}\) целиком лежит выше прямой \(y = x\). При \(x \leqslant 0\) это следует из положительности степени: \(2^{x} > 0 \geqslant x\). При \(0 < x \leqslant 1\) имеем \(2^{x} > 2^{0} = 1 \geqslant x\), при \(1 < x \leqslant 2\) имеем \(2^{x} > 2^{1} = 2 \geqslant x\), а при \(x > 2\) кривая поднимается круче прямой и остаётся над ней. Общих точек у графиков нет, поэтому уравнение не имеет корней.
2) Построим в одной системе координат графики функций \(y = 2^{x}\) и \(y = x^{2}\).
Графики имеют три общие точки. Две из них находим точно: при \(x = 2\) обе функции принимают значение 4, так как \(2^{2} = 4\); при \(x = 4\) обе принимают значение 16, так как \(2^{4} = 16\) и \(4^{2} = 16\). Третья общая точка лежит между \(-1\) и 0: при \(x = -1\) кривая ниже параболы, так как \(2^{-1} = \frac{1}{2}\), а \((-1)^{2} = 1\); при \(x = 0\) кривая выше параболы, так как \(2^{0} = 1\), а \(0^{2} = 0\). На отрезке \([-1;\ 0]\) показательная функция возрастает, а функция \(y = x^{2}\) убывает, поэтому общая точка на нём ровно одна. Уравнение имеет три корня.
3) Построим в одной системе координат графики функций \(y = 2^{x}\) и \(y = \sin x\).
При неограниченном убывании \(x\) значения показательной функции \(y = 2^{x}\) становятся сколь угодно малыми, оставаясь положительными, а синусоида бесконечно много раз принимает каждое значение из промежутка \((0;\ 1]\), поэтому левее нуля графики пересекаются бесконечно много раз. Возьмём любое целое отрицательное число \(k\) и отрезок \(\left[2\pi k;\ \frac{\pi}{2} + 2\pi k\right]\). В его левом конце \(\sin x = 0\), а значение \(2^{x}\) положительно, то есть кривая выше синусоиды; в правом конце \(\sin x = 1\), а \(2^{x} < 2^{0} = 1\), то есть кривая ниже синусоиды. Значит, на каждом таком отрезке графики имеют общую точку, а самих отрезков бесконечно много. Уравнение имеет бесконечно много корней.
4) Построим в одной системе координат графики функций \(y = 2^{-x}\) и \(y = 2 - x^{2}\).
Графики имеют две общие точки. Первая лежит между \(-1\) и 0: при \(x = -1\) кривая выше параболы, так как \(2^{1} = 2\), а \(2 - (-1)^{2} = 1\); при \(x = 0\) кривая ниже параболы, так как \(2^{0} = 1\), а \(2 - 0^{2} = 2\). На отрезке \([-1;\ 0]\) показательная функция убывает, а функция \(y = 2 - x^{2}\) возрастает, поэтому общая точка на нём ровно одна. Вторая общая точка лежит между 1 и 2: при \(x = 1\) кривая ниже параболы (\(2^{-1} = \frac{1}{2}\), а \(2 - 1 = 1\)), при \(x = 2\) — выше (\(2^{-2} = \frac{1}{4}\), а \(2 - 4 = -2\)).
Других общих точек нет. При \(x < -1\) имеем \(2^{-x} > 2^{1} = 2\), а \(2 - x^{2} < 1\). На отрезке \([0;\ 1]\) имеем \(2^{-x} \leqslant 2^{0} = 1\) и \(2 - x^{2} \geqslant 2 - 1 = 1\), причём равенство единице достигается для показательной функции только при \(x = 0\), а для параболы — только при \(x = 1\). При \(x > 2\) значения \(2^{-x}\) положительны, а \(2 - x^{2} < 2 - 4 < 0\). Уравнение имеет два корня.
Ответ: 1) корней нет; 2) 3 корня; 3) бесконечно много корней; 4) 2 корня.
