Страница 15 номер 1.36, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Решите неравенство: 1) \(2^{x} > \sin x - 1\); 2) \(2^{x} > \arcsin x - \frac{\pi}{2}\); 3) \(2^{\operatorname{ctg} x} > \cos x - 1\).
1) Левая часть положительна при всех \(x\), а правая неположительна: \(\sin x \leqslant 1\), поэтому \(\sin x - 1 \leqslant 0\). Значит, при каждом действительном \(x\) выполняются неравенства \(2^{x} > 0 \geqslant \sin x - 1\) — неравенство верно на всей числовой прямой.
2) Выражение \(\arcsin x\) определено при \(-1 \leqslant x \leqslant 1\), причём \(\arcsin x \leqslant \frac{\pi}{2}\), поэтому правая часть неположительна: \(\arcsin x - \frac{\pi}{2} \leqslant 0\), а левая положительна: \(2^{x} > 0\). Значит, неравенство верно при каждом \(x\) из отрезка \([-1;\ 1]\).
3) Выражение \(2^{\operatorname{ctg} x}\) имеет смысл при \(x \ne \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\). При каждом таком \(x\) левая часть положительна, а правая неположительна: \(\cos x \leqslant 1\), поэтому \(\cos x - 1 \leqslant 0\), и неравенство верно.
Ответ: 1) \((-\infty;\ +\infty)\); 2) \([-1;\ 1]\); 3) \(x \ne \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\).
Решите неравенство: 1) \(2^{x} > \sin x - 1\); 2) \(2^{x} > \arcsin x - \frac{\pi}{2}\); 3) \(2^{\operatorname{ctg} x} > \cos x - 1\).
1) Левая часть положительна при всех \(x\), а правая неположительна, так как \(\sin x \leqslant 1\) и потому \(\sin x - 1 \leqslant 0\). Значит, при каждом действительном \(x\) выполняются неравенства \(2^{x} > 0 \geqslant \sin x - 1\), то есть неравенство верно на всей числовой прямой.
2) Выражение \(\arcsin x\) определено при \(-1 \leqslant x \leqslant 1\), причём \(\arcsin x \leqslant \frac{\pi}{2}\). Тогда правая часть неположительна: \(\arcsin x - \frac{\pi}{2} \leqslant 0\), а левая положительна: \(2^{x} > 0\). Значит, неравенство верно при каждом значении \(x\) из отрезка \([-1;\ 1]\).
3) Выражение \(2^{\operatorname{ctg} x}\) имеет смысл тогда, когда определён \(\operatorname{ctg} x\), то есть при \(x \ne \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\). При каждом таком значении \(x\) левая часть положительна, а правая неположительна, так как \(\cos x \leqslant 1\) и потому \(\cos x - 1 \leqslant 0\). Значит, неравенство верно.
Ответ: 1) \((-\infty;\ +\infty)\); 2) \([-1;\ 1]\); 3) \(x \ne \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\).
