Страница 14 номер 1.29, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Определите графически количество корней уравнения: 1) \(\left(\frac{1}{3}\right)^{x} = x^{3}\); 2) \(\left(\frac{1}{3}\right)^{x} = \cos x\); 3) \(\left(\frac{1}{3}\right)^{x} = 4 - \frac{3}{x}\).
Число корней равно числу общих точек графиков левой и правой частей.
1) Функция \(y = \left(\frac{1}{3}\right)^{x}\) убывающая, все её значения положительны; функция \(y = x^{3}\) возрастающая.
При \(x \leqslant 0\) значение \(x^{3}\) неположительно, а \(\left(\frac{1}{3}\right)^{x}\) положительно — общих точек нет. На промежутке \((0;\ +\infty)\) первая функция убывает, вторая возрастает — общих точек не более одной.
При \(x = 0\): \(\left(\frac{1}{3}\right)^{0} = 1\) и \(0^{3} = 0\), показательная кривая выше; при \(x = 1\): \(\left(\frac{1}{3}\right)^{1} = \frac{1}{3}\) и \(1^{3} = 1\), она уже ниже. Значит, между числами 0 и 1 кривые пересекаются и уравнение имеет один корень.
2) Значения функции \(y = \left(\frac{1}{3}\right)^{x}\) положительны, значения \(\cos x\) лежат на отрезке \([-1;\ 1]\).
При \(x < 0\) убывающая показательная функция принимает значения, большие единицы, а косинус единицы не превышает — левее нуля общих точек нет. При \(x = 0\) обе части равны 1 — это общая точка.
Возьмём натуральное \(k\) и отрезок \(\left[2\pi k;\ 2\pi k + \frac{\pi}{2}\right]\): в левом конце \(\cos 2\pi k = 1\), а \(\left(\frac{1}{3}\right)^{2\pi k}\) меньше единицы — косинусоида выше; в правом конце \(\cos\left(2\pi k + \frac{\pi}{2}\right) = 0\), а показательная функция положительна — косинусоида ниже. На каждом таком отрезке есть общая точка, а отрезков бесконечно много: корней бесконечно много.
3) Функция \(y = 4 - \frac{3}{x}\) определена при \(x \ne 0\) и возрастает на каждом из промежутков \((-\infty;\ 0)\) и \((0;\ +\infty)\), а \(y = \left(\frac{1}{3}\right)^{x}\) убывает — на каждом промежутке общих точек не более одной.
На \((-\infty;\ 0)\): при \(x = -1\) имеем \(\left(\frac{1}{3}\right)^{-1} = 3\) и \(4 - \frac{3}{-1} = 7\); при \(x = -2\) имеем \(\left(\frac{1}{3}\right)^{-2} = 9\) и \(4 - \frac{3}{-2} = 5{,}5\). Кривые меняются местами, значит, между числами \(-2\) и \(-1\) есть общая точка.
На \((0;\ +\infty)\): при \(x = 0{,}75\) правая часть равна \(4 - \frac{3}{0{,}75} = 0\), а левая положительна; при \(x = 1\) левая часть равна \(\frac{1}{3}\), а правая равна \(4 - 3 = 1\). Значит, между числами \(0{,}75\) и 1 есть ещё одна общая точка.
Больше общих точек нет, поэтому уравнение имеет два корня.
Ответ: 1) один корень; 2) бесконечно много корней; 3) два корня.
Определите графически количество корней уравнения: 1) \(\left(\frac{1}{3}\right)^{x} = x^{3}\); 2) \(\left(\frac{1}{3}\right)^{x} = \cos x\); 3) \(\left(\frac{1}{3}\right)^{x} = 4 - \frac{3}{x}\).
Число корней уравнения равно числу общих точек графиков функций, записанных в его левой и правой частях.
1) Функция \(y = \left(\frac{1}{3}\right)^{x}\) — показательная с основанием \(\frac{1}{3}\), меньшим единицы: она убывающая, и все её значения положительны. Функция \(y = x^{3}\) возрастающая.
При \(x \leqslant 0\) значение \(x^{3}\) неположительно, а значение \(\left(\frac{1}{3}\right)^{x}\) положительно, поэтому общих точек левее нуля и в нуле нет. На промежутке \((0;\ +\infty)\) первая функция убывает, а вторая возрастает, поэтому общих точек у графиков не более одной.
Такая точка есть: при \(x = 0\) имеем \(\left(\frac{1}{3}\right)^{0} = 1\) и \(0^{3} = 0\), то есть показательная кривая выше; при \(x = 1\) имеем \(\left(\frac{1}{3}\right)^{1} = \frac{1}{3}\) и \(1^{3} = 1\), то есть она уже ниже. Значит, между числами 0 и 1 кривые пересекаются, и уравнение имеет один корень.
2) Все значения функции \(y = \left(\frac{1}{3}\right)^{x}\) положительны, а значения функции \(y = \cos x\) лежат на отрезке \([-1;\ 1]\).
При \(x < 0\) показатель отрицателен, и убывающая показательная функция принимает значения, большие единицы, а косинус единицы не превышает, поэтому левее нуля общих точек нет. При \(x = 0\) обе части равны 1 — это общая точка.
При неограниченном увеличении \(x\) значения функции \(y = \left(\frac{1}{3}\right)^{x}\) становятся сколь угодно малыми, оставаясь положительными, а косинусоида бесконечно много раз принимает каждое значение из промежутка \((0;\ 1)\). Поэтому пересечений бесконечно много. Возьмём натуральное число \(k\) и отрезок \(\left[2\pi k;\ 2\pi k + \frac{\pi}{2}\right]\). В его левом конце \(\cos 2\pi k = 1\), а значение \(\left(\frac{1}{3}\right)^{2\pi k}\) меньше единицы, то есть косинусоида идёт выше показательной кривой. В правом конце \(\cos\left(2\pi k + \frac{\pi}{2}\right) = 0\), а значение показательной функции положительно, то есть косинусоида идёт ниже. Значит, на каждом таком отрезке кривые пересекаются, а самих отрезков бесконечно много.
3) Функция \(y = 4 - \frac{3}{x}\) определена при \(x \ne 0\), её график — гипербола с двумя ветвями, и на каждом из промежутков \((-\infty;\ 0)\) и \((0;\ +\infty)\) эта функция возрастает. Показательная функция \(y = \left(\frac{1}{3}\right)^{x}\) убывает на всей числовой прямой, поэтому на каждом из этих промежутков графики имеют не более одной общей точки.
На промежутке \((-\infty;\ 0)\): при \(x = -1\) получаем \(\left(\frac{1}{3}\right)^{-1} = 3\) и \(4 - \frac{3}{-1} = 7\), а при \(x = -2\) получаем \(\left(\frac{1}{3}\right)^{-2} = 9\) и \(4 - \frac{3}{-2} = 5{,}5\). Кривые меняются местами, значит, между числами \(-2\) и \(-1\) есть общая точка.
На промежутке \((0;\ +\infty)\): при \(x = 0{,}75\) правая часть равна \(4 - \frac{3}{0{,}75} = 0\), а левая положительна; при \(x = 1\) левая часть равна \(\frac{1}{3}\), а правая равна \(4 - 3 = 1\). Значит, между числами \(0{,}75\) и 1 есть ещё одна общая точка.
Больше общих точек нет, поэтому уравнение имеет два корня.
Ответ: 1) один корень; 2) бесконечно много корней; 3) два корня.
