Страница 15 номер 1.38, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Постройте график функции: 1) \(y = |1 - 3^{|x|}|\); 2) \(y = \frac{|1 - 3^{-x}|}{3^{|x|} - 1}\).
1) Показатель \(|x|\) неотрицателен, а функция \(y = 3^{t}\) возрастающая, поэтому \(3^{|x|} \geqslant 3^{0} = 1\): выражение под знаком модуля неположительно, модуль раскрывается со знаком «минус», \(y = 3^{|x|} - 1\).
Эта функция чётная. При \(x \geqslant 0\) имеем \(y = 3^{x} - 1\) — правая часть графика есть график \(y = 3^{x}\), сдвинутый на единицу вниз, левая симметрична правой относительно оси \(Oy\). Наименьшее значение 0 достигается при \(x = 0\).
2) Знаменатель не равен нулю: \(3^{|x|} - 1 \ne 0\), то есть \(3^{|x|} \ne 1\), откуда \(|x| \ne 0\) и \(x \ne 0\).
При \(x < 0\) показатель \(-x\) положителен, поэтому \(3^{-x} > 1\) и числитель равен \(3^{-x} - 1\); знаменатель равен \(3^{-x} - 1\), так как \(|x| = -x\). Тогда \(y = \frac{3^{-x} - 1}{3^{-x} - 1} = 1\).
При \(x > 0\) имеем \(3^{-x} < 1\), поэтому числитель равен \(1 - 3^{-x}\), а знаменатель равен \(3^{x} - 1\), и
\[\begin{aligned} &y = \frac{1 - 3^{-x}}{3^{x} - 1} = \frac{1 - \frac{1}{3^{x}}}{3^{x} - 1} = {} \\ &= \frac{3^{x} - 1}{3^{x}(3^{x} - 1)} = \frac{1}{3^{x}} = \left(\frac{1}{3}\right)^{x}. \end{aligned}\]
Значит, при \(x < 0\) графиком служит часть прямой \(y = 1\), а при \(x > 0\) — часть графика функции \(y = \left(\frac{1}{3}\right)^{x}\); точка \((0;\ 1)\) графику не принадлежит и потому выколота.
Постройте график функции: 1) \(y = |1 - 3^{|x|}|\); 2) \(y = \frac{|1 - 3^{-x}|}{3^{|x|} - 1}\).
1) Показатель \(|x|\) неотрицателен, а показательная функция \(y = 3^{t}\) возрастающая, поэтому \(3^{|x|} \geqslant 3^{0} = 1\). Значит, выражение под знаком модуля неположительно и модуль раскрывается со знаком «минус»: \(y = 3^{|x|} - 1\).
Полученная функция чётная. При \(x \geqslant 0\) имеем \(y = 3^{x} - 1\), то есть правая часть графика — это график функции \(y = 3^{x}\), сдвинутый на одну единицу вниз; левая часть симметрична правой относительно оси \(Oy\). Наименьшее значение функции равно 0 и достигается при \(x = 0\).
2) Функция определена при тех значениях \(x\), при которых знаменатель не равен нулю: \(3^{|x|} - 1 \ne 0\), то есть \(3^{|x|} \ne 1\). Возрастающая показательная функция принимает значение 1 только при показателе 0, поэтому \(|x| \ne 0\), то есть \(x \ne 0\).
При \(x < 0\) показатель \(-x\) положителен, поэтому \(3^{-x} > 1\) и числитель равен \(3^{-x} - 1\); знаменатель при этом равен \(3^{-x} - 1\), так как \(|x| = -x\). Тогда \(y = \frac{3^{-x} - 1}{3^{-x} - 1} = 1\).
При \(x > 0\) имеем \(3^{-x} < 1\), поэтому числитель равен \(1 - 3^{-x}\), а знаменатель равен \(3^{x} - 1\). Тогда
\[\begin{aligned} &y = \frac{1 - 3^{-x}}{3^{x} - 1} = \frac{1 - \frac{1}{3^{x}}}{3^{x} - 1} = {} \\ &= \frac{3^{x} - 1}{3^{x}(3^{x} - 1)} = \frac{1}{3^{x}} = \left(\frac{1}{3}\right)^{x}. \end{aligned}\]
Значит, при \(x < 0\) графиком служит часть прямой \(y = 1\), а при \(x > 0\) — часть графика показательной функции \(y = \left(\frac{1}{3}\right)^{x}\); точка \((0;\ 1)\) графику не принадлежит и потому выколота.
