Страница 15 номер 1.34, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции: 1) \(y = 6^{\cos x}\); 2) \(y = \left(\frac{1}{5}\right)^{|\cos x|} + 5\).
1) Показатель \(\cos x\) принимает все значения отрезка \([-1;\ 1]\) и только их.
Основание \(6 > 1\), функция \(y = 6^{t}\) возрастающая: наибольшее значение — при наибольшем показателе, наименьшее — при наименьшем.
Наибольшее значение \(6^{1} = 6\) достигается при \(\cos x = 1\), то есть при \(x = 2\pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\).
Наименьшее значение \(6^{-1} = \frac{1}{6}\) достигается при \(\cos x = -1\), то есть при \(x = \pi + 2\pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\).
2) Показатель \(|\cos x|\) принимает все значения отрезка \([0;\ 1]\) и только их.
Основание \(\frac{1}{5} < 1\), функция \(y = \left(\frac{1}{5}\right)^{t}\) убывающая: наибольшее значение — при наименьшем показателе, наименьшее — при наибольшем.
Наибольшее значение \(\left(\frac{1}{5}\right)^{0} + 5 = 1 + 5 = 6\) достигается при \(\cos x = 0\), то есть при \(x = \frac{\pi}{2} + \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\).
Наименьшее значение \(\left(\frac{1}{5}\right)^{1} + 5 = \frac{1}{5} + 5 = 5\frac{1}{5}\) достигается при \(|\cos x| = 1\), то есть при \(x = \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\).
Ответ: 1) наибольшее значение — 6, наименьшее — \(\frac{1}{6}\); 2) наибольшее значение — 6, наименьшее — \(5\frac{1}{5}\).
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции: 1) \(y = 6^{\cos x}\); 2) \(y = \left(\frac{1}{5}\right)^{|\cos x|} + 5\).
1) Показатель \(\cos x\) принимает все значения из отрезка \([-1;\ 1]\) и никаких других.
Основание 6 больше единицы, поэтому функция \(y = 6^{t}\) возрастающая: наибольшее значение достигается при наибольшем показателе, а наименьшее — при наименьшем.
Наибольшее значение функции равно \(6^{1} = 6\); оно достигается, когда \(\cos x = 1\), то есть при \(x = 2\pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\).
Наименьшее значение равно \(6^{-1} = \frac{1}{6}\); оно достигается, когда \(\cos x = -1\), то есть при \(x = \pi + 2\pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\).
2) Показатель \(|\cos x|\) принимает все значения из отрезка \([0;\ 1]\) и никаких других.
Основание \(\frac{1}{5}\) меньше единицы, поэтому функция \(y = \left(\frac{1}{5}\right)^{t}\) убывающая: наибольшее значение она принимает при наименьшем показателе, а наименьшее — при наибольшем.
Наибольшее значение функции равно \(\left(\frac{1}{5}\right)^{0} + 5 = 1 + 5 = 6\); оно достигается, когда \(\cos x = 0\), то есть при \(x = \frac{\pi}{2} + \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\).
Наименьшее значение равно \(\left(\frac{1}{5}\right)^{1} + 5 = \frac{1}{5} + 5 = 5\frac{1}{5}\); оно достигается, когда \(|\cos x| = 1\), то есть при \(x = \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\).
Ответ: 1) наибольшее значение — 6, наименьшее — \(\frac{1}{6}\); 2) наибольшее значение — 6, наименьшее — \(5\frac{1}{5}\).
