Страница 15 номер 1.33, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции: 1) \(y = \left(\frac{1}{4}\right)^{\sin x}\); 2) \(y = 3^{|\sin x|} - 2\).
1) Показатель \(\sin x\) принимает все значения отрезка \([-1;\ 1]\) и только их.
Основание \(\frac{1}{4} < 1\), функция \(y = \left(\frac{1}{4}\right)^{t}\) убывающая: наибольшее значение — при наименьшем показателе, наименьшее — при наибольшем.
Наибольшее значение \(\left(\frac{1}{4}\right)^{-1} = 4\) достигается при \(\sin x = -1\), то есть при \(x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\).
Наименьшее значение \(\left(\frac{1}{4}\right)^{1} = \frac{1}{4}\) достигается при \(\sin x = 1\), то есть при \(x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\).
2) Показатель \(|\sin x|\) принимает все значения отрезка \([0;\ 1]\) и только их.
Основание \(3 > 1\), функция \(y = 3^{t}\) возрастающая: наибольшее значение — при наибольшем показателе, наименьшее — при наименьшем.
Наибольшее значение \(3^{1} - 2 = 1\) достигается при \(|\sin x| = 1\), то есть при \(x = \frac{\pi}{2} + \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\).
Наименьшее значение \(3^{0} - 2 = 1 - 2 = -1\) достигается при \(\sin x = 0\), то есть при \(x = \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\).
Ответ: 1) наибольшее значение — 4, наименьшее — \(\frac{1}{4}\); 2) наибольшее значение — 1, наименьшее — \(-1\).
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции: 1) \(y = \left(\frac{1}{4}\right)^{\sin x}\); 2) \(y = 3^{|\sin x|} - 2\).
1) Показатель \(\sin x\) принимает все значения из отрезка \([-1;\ 1]\) и никаких других.
Основание \(\frac{1}{4}\) меньше единицы, поэтому функция \(y = \left(\frac{1}{4}\right)^{t}\) убывающая: наибольшее значение она принимает при наименьшем показателе, а наименьшее — при наибольшем.
Наибольшее значение функции равно \(\left(\frac{1}{4}\right)^{-1} = 4\); оно достигается, когда \(\sin x = -1\), то есть при \(x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\).
Наименьшее значение равно \(\left(\frac{1}{4}\right)^{1} = \frac{1}{4}\); оно достигается, когда \(\sin x = 1\), то есть при \(x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\).
2) Показатель \(|\sin x|\) принимает все значения из отрезка \([0;\ 1]\) и никаких других.
Основание 3 больше единицы, поэтому функция \(y = 3^{t}\) возрастающая: наибольшее значение достигается при наибольшем показателе, а наименьшее — при наименьшем.
Наибольшее значение функции равно \(3^{1} - 2 = 1\); оно достигается, когда \(|\sin x| = 1\), то есть при \(x = \frac{\pi}{2} + \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\).
Наименьшее значение равно \(3^{0} - 2 = 1 - 2 = -1\); оно достигается, когда \(\sin x = 0\), то есть при \(x = \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\).
Ответ: 1) наибольшее значение — 4, наименьшее — \(\frac{1}{4}\); 2) наибольшее значение — 1, наименьшее — \(-1\).
