Страница 120 номер 10.14, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
На ребре \(AB\) прямоугольного параллелепипеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) отметили точку \(M\). Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку \(M\) и перпендикулярной прямой \(AB\).
Через точку \(M\) проведём отрезок \(MN\) параллельно ребру \(AD\) (точка \(N\) принадлежит ребру \(DC\)) и отрезок \(ME\) параллельно ребру \(AA_1\) (точка \(E\) принадлежит ребру \(A_1B_1\)). Через точку \(E\) проведём отрезок \(EK\) параллельно ребру \(A_1D_1\) (точка \(K\) принадлежит ребру \(D_1C_1\)). Соединим точки \(N\) и \(K\).
Все грани прямоугольного параллелепипеда — прямоугольники, поэтому \(AB \perp AD\) и \(AB \perp AA_1\). Прямые \(MN\), \(AD\) и \(AB\) лежат в плоскости \(ABC\); поскольку \(MN \parallel AD\) и \(AD \perp AB\), то \(MN \perp AB\). Аналогично прямые \(ME\), \(AA_1\) и \(AB\) лежат в плоскости \(ABB_1\), и из \(ME \parallel AA_1\) следует \(ME \perp AB\). Прямые \(MN\) и \(ME\) пересекаются в точке \(M\), следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости \(AB \perp MNE\).
Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой, поэтому из \(EK \parallel A_1D_1\), \(A_1D_1 \parallel AD\) и \(AD \parallel MN\) следует \(EK \parallel MN\). Параллельные прямые \(MN\) и \(EK\) лежат в одной плоскости, и это плоскость \(MNE\). Значит, плоскость \(MNE\) пересекает грани параллелепипеда по отрезкам \(MN\), \(NK\), \(KE\) и \(EM\), и сечение — четырёхугольник \(MNKE\).
Четырёхугольник \(AMND\) — параллелограмм (\(AM \parallel DN\), \(MN \parallel AD\)), поэтому \(MN = AD\); аналогично \(EK = A_1D_1 = AD\). Отрезки \(MN\) и \(EK\) равны и параллельны, поэтому \(MNKE\) — параллелограмм. Поскольку \(MN \parallel AD\) и \(ME \parallel AA_1\), то угол между прямыми \(MN\) и \(ME\) равен углу между прямыми \(AD\) и \(AA_1\), то есть \(90^\circ\). Следовательно, \(MNKE\) — прямоугольник.
Другой плоскости, проходящей через точку \(M\) и перпендикулярной прямой \(AB\), нет: две различные плоскости, перпендикулярные одной прямой, параллельны, а у этих плоскостей была бы общая точка \(M\).
Если точка \(M\) совпадает с вершиной \(A\) или \(B\), построение даёт грань \(AA_1D_1D\) или \(BB_1C_1C\): прямая \(AB\) перпендикулярна плоскости каждой из них по тому же признаку (\(AB \perp AD\), \(AB \perp AA_1\) и \(BA \perp BC\), \(BA \perp BB_1\)).
Ответ: сечение — прямоугольник \(MNKE\), у которого \(MN \parallel AD\) и \(ME \parallel AA_1\) (если точка \(M\) совпадает с вершиной \(A\) или \(B\), сечение — грань \(AA_1D_1D\) или \(BB_1C_1C\)).
На ребре \(AB\) прямоугольного параллелепипеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) отметили точку \(M\). Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку \(M\) и перпендикулярной прямой \(AB\).
Через точку \(M\) проведём отрезок \(MN\) параллельно ребру \(AD\) (точка \(N\) принадлежит ребру \(DC\)) и отрезок \(ME\) параллельно ребру \(AA_1\) (точка \(E\) принадлежит ребру \(A_1B_1\)). Через точку \(E\) проведём отрезок \(EK\) параллельно ребру \(A_1D_1\) (точка \(K\) принадлежит ребру \(D_1C_1\)). Соединим точки \(N\) и \(K\). Докажем, что четырёхугольник \(MNKE\) — искомое сечение.
Все грани прямоугольного параллелепипеда — прямоугольники, поэтому \(AB \perp AD\) и \(AB \perp AA_1\). Прямые \(MN\), \(AD\) и \(AB\) лежат в плоскости \(ABC\); поскольку \(MN \parallel AD\) и \(AD \perp AB\), то \(MN \perp AB\). Аналогично прямые \(ME\), \(AA_1\) и \(AB\) лежат в плоскости \(ABB_1\), и из \(ME \parallel AA_1\) следует \(ME \perp AB\). Прямые \(MN\) и \(ME\) пересекаются в точке \(M\), следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости \(AB \perp MNE\).
Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой, поэтому из \(EK \parallel A_1D_1\), \(A_1D_1 \parallel AD\) и \(AD \parallel MN\) следует \(EK \parallel MN\). Параллельные прямые \(MN\) и \(EK\) лежат в одной плоскости, и это плоскость \(MNE\). Значит, плоскость \(MNE\) пересекает грани параллелепипеда по отрезкам \(MN\), \(NK\), \(KE\) и \(EM\), и сечение — четырёхугольник \(MNKE\).
Четырёхугольник \(AMND\) — параллелограмм (\(AM \parallel DN\), \(MN \parallel AD\)), поэтому \(MN = AD\); аналогично \(EK = A_1D_1 = AD\). Отрезки \(MN\) и \(EK\) равны и параллельны, поэтому \(MNKE\) — параллелограмм. Поскольку \(MN \parallel AD\) и \(ME \parallel AA_1\), то угол между прямыми \(MN\) и \(ME\) равен углу между прямыми \(AD\) и \(AA_1\), то есть \(90^\circ\). Следовательно, \(MNKE\) — прямоугольник.
Другой плоскости, проходящей через точку \(M\) и перпендикулярной прямой \(AB\), нет: две различные плоскости, перпендикулярные одной прямой, параллельны, а у этих плоскостей была бы общая точка \(M\).
Если точка \(M\) совпадает с вершиной \(A\) или \(B\), построение даёт грань \(AA_1D_1D\) или \(BB_1C_1C\): прямая \(AB\) перпендикулярна плоскости каждой из них по тому же признаку (\(AB \perp AD\), \(AB \perp AA_1\) и \(BA \perp BC\), \(BA \perp BB_1\)).
Ответ: сечение — прямоугольник \(MNKE\), у которого \(MN \parallel AD\) и \(ME \parallel AA_1\) (если точка \(M\) совпадает с вершиной \(A\) или \(B\), сечение — грань \(AA_1D_1D\) или \(BB_1C_1C\)).
