Страница 244 номер 496, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

Дано:
\(X\) — длина изготовленного гвоздя, мм
\(m = 98\) мм
\(\sigma = 0{,}7\) мм

Найти: вероятность того, что длина случайно выбранного гвоздя меньше 97 мм.

Решение:

Длина изготовленного гвоздя имеет нормальное распределение со средним \(m = 98\) мм и стандартным отклонением \(\sigma = 0{,}7\) мм. Номинальная длина 10 см — это то, что написано на упаковке; в вычислении она не участвует, потому что распределение задано другими числами.

Перейдём к стандартной величине \(Z = \frac{X - 98}{0{,}7}\). Событие \(X < 97\) превращается в событие

\[Z < \frac{97 - 98}{0{,}7} \approx -1{,}429.\]

Аргумента \(-1{,}429\) в таблице нет: он лежит между узлами \(-1{,}45\) и \(-1{,}40\), отступая от левого узла на \(0{,}021\), а от правого — на \(0{,}029\). Больший вес получает ближний узел:

\[\begin{aligned} &\Phi(-1{,}429) \approx \frac{29 \cdot \Phi(-1{,}45) + 21 \cdot \Phi(-1{,}40)}{50} = {} \\ &= \frac{29 \cdot 0{,}0735 + 21 \cdot 0{,}0808}{50} \approx 0{,}0766. \end{aligned}\]

Значит, \(\mathrm{P}(X < 97) \approx 0{,}0766 \approx 0{,}077\). Примерно 8 гвоздей из каждой сотни короче 97 мм.

Ответ: \(\approx 0{,}077\).