Страница 233 номер 479, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Поезда метро ходят с одинаковым интервалом в 3 мин. Время ожидания — случайная величина. Постройте график её плотности, вычислите математическое ожидание и дисперсию.
Дано:
\(t = 3\) мин — интервал движения поездов
Найти: график плотности времени ожидания поезда, \(\mathrm{E}X\) и \(\mathrm{D}X\).
Решение:
Пассажир приходит на станцию наудачу, поэтому время ожидания \(X\) (в минутах) равномерно распределено на отрезке \([0;\ 3]\): дольше трёх минут ждать не приходится — подходит следующий поезд.
Длина отрезка равна \(3 - 0 = 3\), поэтому плотность на нём равна \(\frac{1}{3}\), а вне отрезка равна нулю.
Площадь прямоугольника под графиком равна \(3 \cdot \frac{1}{3} = 1\) — как и должно быть у функции плотности.
\[\mathrm{E}X = \frac{0+3}{2} = 1{,}5 \text{ (мин)}.\] \[\mathrm{D}X = \frac{(3-0)^2}{12} = \frac{9}{12} = 0{,}75.\]
Ответ: \(\mathrm{E}X = 1{,}5\) мин, \(\mathrm{D}X = 0{,}75\).
Поезда метро ходят с одинаковым интервалом в 3 мин. Время ожидания — случайная величина. Постройте график её плотности, вычислите математическое ожидание и дисперсию.
Дано:
\(t = 3\) мин — интервал движения поездов
Найти: график плотности времени ожидания поезда, \(\mathrm{E}X\) и \(\mathrm{D}X\).
Решение:
Пассажир приходит на станцию наудачу, и любой момент между двумя поездами для него равновозможен. Поэтому время ожидания \(X\) (в минутах) равномерно распределено на отрезке \([0;\ 3]\): ждать меньше нуля минут нельзя, а больше трёх не приходится — за это время подходит следующий поезд.
Длина отрезка равна \(3 - 0 = 3\), поэтому на нём плотность постоянна и равна \(\frac{1}{3}\), а вне отрезка равна нулю. Построим график плотности.
Площадь прямоугольника под графиком равна \(3 \cdot \frac{1}{3} = 1\) — как и должно быть у функции плотности.
Математическое ожидание равномерного распределения равно середине отрезка: \[\mathrm{E}X = \frac{0+3}{2} = 1{,}5 \text{ (мин)}.\]
Среднее время ожидания оказалось равно половине интервала движения поездов.
Дисперсия равна \[\mathrm{D}X = \frac{(3-0)^2}{12} = \frac{9}{12} = 0{,}75.\]
Ответ: \(\mathrm{E}X = 1{,}5\) мин, \(\mathrm{D}X = 0{,}75\).
