Страница 254 номер 508, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
\(X\) — число событий в единицу времени, распределение Пуассона с \(\lambda = 4\):
\[\mathrm{P}(X = k) = \frac{4^k}{k!}e^{-4},\quad k = 0,\ 1,\ 2,\ \ldots\] \[\mathrm{P}(X = 3) = \frac{4^3}{3!}e^{-4} = \frac{64}{6}e^{-4} = \frac{32}{3}e^{-4}.\] \[\mathrm{P}(X = 4) = \frac{4^4}{4!}e^{-4} = \frac{256}{24}e^{-4} = \frac{32}{3}e^{-4}.\]
Дроби \(\dfrac{4^3}{3!}\) и \(\dfrac{4^4}{4!}\) равны не случайно: при переходе от \(k = 3\) к \(k = 4\) числитель умножается на 4 (основание степени как раз равно 4) и знаменатель тоже умножается на 4 (переход от \(3!\) к \(4!\)), поэтому дробь не меняется. Значит, обе вероятности равны в точности, а не только после округления:
\[\mathrm{P}(X = 3) = \mathrm{P}(X = 4) = \frac{32}{3}e^{-4} \approx 0{,}195.\]
Ни одно из двух событий не вероятнее другого.
Ответ: Оба события равновероятны: вероятность того, что в единицу времени случится ровно 3 события, и вероятность того, что случится ровно 4 события, равны \(\dfrac{32}{3}e^{-4} \approx 0{,}195\).
Количество событий, наступающих в единицу времени, подчиняется распределению Пуассона со средним значением \(\lambda = 4\): события наступают по одному, независимо друг от друга, и за единицу времени их наступает в среднем 4. Для случайной величины \(X\) «число событий в единицу времени» это значит
\[\mathrm{P}(X = k) = \frac{4^k}{k!}e^{-4},\quad k = 0,\ 1,\ 2,\ \ldots\]
Надо сравнить вероятности двух её значений — \(k = 3\) и \(k = 4\).
Вероятность того, что случится ровно 3 события:
\[\mathrm{P}(X = 3) = \frac{4^3}{3!}e^{-4} = \frac{64}{6}e^{-4} = \frac{32}{3}e^{-4}.\]
Вероятность того, что случится ровно 4 события:
\[\mathrm{P}(X = 4) = \frac{4^4}{4!}e^{-4} = \frac{256}{24}e^{-4} = \frac{32}{3}e^{-4}.\]
Дроби \(\dfrac{4^3}{3!}\) и \(\dfrac{4^4}{4!}\) оказались равными, и это не случайность: при переходе от \(k = 3\) к \(k = 4\) числитель умножается на 4 (основание степени как раз равно 4) и знаменатель тоже умножается на 4 (переход от \(3!\) к \(4!\)), поэтому дробь не меняется. Значит, обе вероятности равны в точности, а не только после округления:
\[\mathrm{P}(X = 3) = \mathrm{P}(X = 4) = \frac{32}{3}e^{-4} \approx 0{,}195.\]
Ни одно из двух событий не вероятнее другого.
Ответ: Оба события равновероятны: вероятность того, что в единицу времени случится ровно 3 события, и вероятность того, что случится ровно 4 события, равны \(\dfrac{32}{3}e^{-4} \approx 0{,}195\).
