Страница 261 номер 517, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Докажите распределительный закон для ковариации: \[\mathrm{cov}(X, Y + Z) = \mathrm{cov}(X, Y) + \mathrm{cov}(X, Z).\]
Запишем левую часть доказываемого равенства по формуле \(\mathrm{cov}(X,\ Y) = \mathrm{E}(XY) - \mathrm{E}X \cdot \mathrm{E}Y\), взяв второй величиной сумму \(Y + Z\):
\[\mathrm{cov}(X,\ Y + Z) = \mathrm{E}\bigl(X(Y + Z)\bigr) - \mathrm{E}X \cdot \mathrm{E}(Y + Z).\]
Раскроем скобки: \(X(Y + Z) = XY + XZ\). Ожидание суммы равно сумме ожиданий, поэтому \(\mathrm{E}(XY + XZ) = \mathrm{E}(XY) + \mathrm{E}(XZ)\) и \(\mathrm{E}(Y + Z) = \mathrm{E}Y + \mathrm{E}Z\):
\[\begin{aligned} &\mathrm{cov}(X,\ Y + Z) = \mathrm{E}(XY) + \mathrm{E}(XZ) - \mathrm{E}X(\mathrm{E}Y + \mathrm{E}Z) = {} \\ &= \bigl(\mathrm{E}(XY) - \mathrm{E}X \cdot \mathrm{E}Y\bigr) + \bigl(\mathrm{E}(XZ) - \mathrm{E}X \cdot \mathrm{E}Z\bigr). \end{aligned}\]
В первой скобке стоит \(\mathrm{cov}(X,\ Y)\), во второй — \(\mathrm{cov}(X,\ Z)\). Равенство доказано.
Ответ: \(\mathrm{cov}(X,\ Y + Z) = \mathrm{cov}(X,\ Y) + \mathrm{cov}(X,\ Z)\).
Докажите распределительный закон для ковариации: \[\mathrm{cov}(X, Y + Z) = \mathrm{cov}(X, Y) + \mathrm{cov}(X, Z).\]
Докажем распределительный закон для ковариации: \(\mathrm{cov}(X,\ Y + Z) = \mathrm{cov}(X,\ Y) + \mathrm{cov}(X,\ Z)\).
Запишем левую часть по формуле \(\mathrm{cov}(X,\ Y) = \mathrm{E}(XY) - \mathrm{E}X \cdot \mathrm{E}Y\), взяв в качестве второй величины сумму \(Y + Z\):
\[\mathrm{cov}(X,\ Y + Z) = \mathrm{E}\bigl(X(Y + Z)\bigr) - \mathrm{E}X \cdot \mathrm{E}(Y + Z).\]
Раскроем скобки в произведении: \(X(Y + Z) = XY + XZ\). Математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий, поэтому \(\mathrm{E}(XY + XZ) = \mathrm{E}(XY) + \mathrm{E}(XZ)\) и \(\mathrm{E}(Y + Z) = \mathrm{E}Y + \mathrm{E}Z\). Значит,
\[\begin{aligned} &\mathrm{cov}(X,\ Y + Z) = \mathrm{E}(XY) + \mathrm{E}(XZ) - \mathrm{E}X(\mathrm{E}Y + \mathrm{E}Z) = {} \\ &= \bigl(\mathrm{E}(XY) - \mathrm{E}X \cdot \mathrm{E}Y\bigr) + \bigl(\mathrm{E}(XZ) - \mathrm{E}X \cdot \mathrm{E}Z\bigr). \end{aligned}\]
В первой скобке стоит \(\mathrm{cov}(X,\ Y)\), во второй — \(\mathrm{cov}(X,\ Z)\). Равенство доказано.
Ответ: \(\mathrm{cov}(X,\ Y + Z) = \mathrm{cov}(X,\ Y) + \mathrm{cov}(X,\ Z)\).
