Вопросы после параграфа §54 на странице 258, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

Ковариацией случайных величин \(X\) и \(Y\) называют число

\[\mathrm{cov}(X,\ Y) = \mathrm{E}\bigl((X - \mathrm{E}X)(Y - \mathrm{E}Y)\bigr).\]

Если раскрыть скобки и воспользоваться свойствами математического ожидания, получится вторая, удобная для счёта запись:

\[\mathrm{cov}(X,\ Y) = \mathrm{E}(XY) - \mathrm{E}X \cdot \mathrm{E}Y.\]

Изменчивость одной случайной величины измеряет дисперсия, а ковариация измеряет совместную изменчивость двух величин: она показывает, есть ли между ними линейная связь и в какую сторону эта связь направлена.

Смысл знака виден из первой записи. При положительной связи (чем больше \(X\), тем, скорее всего, больше \(Y\)) знаки отклонений \((X - \mathrm{E}X)\) и \((Y - \mathrm{E}Y)\) чаще одинаковы, в распределении их произведения более вероятны положительные значения — и ковариация положительна. При отрицательной связи знаки отклонений чаще разные, произведение чаще отрицательно, и ковариация отрицательна. Когда линейной связи нет, положительные и отрицательные значения произведения уравновешивают друг друга и ковариация близка к нулю.

Пример с числами. Пусть пара \((X,\ Y)\) принимает значения \((1;\ 0)\) и \((2;\ 1)\) с вероятностью \(0{,}4\) каждое и значения \((1;\ 1)\) и \((2;\ 0)\) с вероятностью \(0{,}1\) каждое. Тогда \(X\) принимает значения 1 и 2 с вероятностями \(0{,}5\) и \(0{,}5\), поэтому \(\mathrm{E}X = 1{,}5\); так же \(\mathrm{E}Y = 0{,}5\). Произведение \(XY\) отлично от нуля лишь на двух парах, поэтому \(\mathrm{E}(XY) = 1 \cdot 0{,}1 + 2 \cdot 0{,}4 = 0{,}9\) и \(\mathrm{cov}(X,\ Y) = 0{,}9 - 1{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}15\). Ковариация положительна: большему значению \(X\) чаще отвечает большее значение \(Y\).

Ответ: Ковариация измеряет совместную изменчивость двух случайных величин: \(\mathrm{cov}(X,\ Y) = \mathrm{E}\bigl((X - \mathrm{E}X)(Y - \mathrm{E}Y)\bigr) = \mathrm{E}(XY) - \mathrm{E}X \cdot \mathrm{E}Y\). По ней судят о наличии и направлении линейной связи: при положительной связи ковариация положительна, при отрицательной — отрицательна, а при отсутствии линейной связи она близка к нулю.

Да, может. Ковариация есть математическое ожидание произведения отклонений \((X - \mathrm{E}X)\) и \((Y - \mathrm{E}Y)\), а такое произведение бывает и положительным, и отрицательным. Если между величинами есть отрицательная линейная связь (чем больше \(X\), тем, вероятно, меньше \(Y\)), знаки отклонений чаще разные, произведение чаще отрицательно, и на отрицательные значения приходится большая вероятность — тогда ковариация отрицательна.

Пример с числами. Пусть пара \((X,\ Y)\) принимает значения \((1;\ 2)\) и \((2;\ 1)\) с вероятностью \(0{,}4\) каждое и значения \((1;\ 1)\) и \((2;\ 2)\) с вероятностью \(0{,}1\) каждое. Тогда \(\mathrm{E}X = \mathrm{E}Y = 1{,}5\), а

\[\mathrm{E}(XY) = 1 \cdot 1 \cdot 0{,}1 + 1 \cdot 2 \cdot 0{,}4 + 2 \cdot 1 \cdot 0{,}4 + 2 \cdot 2 \cdot 0{,}1 = 2{,}1.\]

Отсюда \(\mathrm{cov}(X,\ Y) = 2{,}1 - 1{,}5 \cdot 1{,}5 = -0{,}15\): большему значению одной величины чаще отвечает меньшее значение другой.

Ответ: Да, может; отрицательная ковариация означает, что между случайными величинами есть отрицательная линейная связь — чем больше одна величина, тем, скорее всего, меньше другая.

Да, может. Ковариация существует, если существуют три математических ожидания: \(\mathrm{E}X\), \(\mathrm{E}Y\) и \(\mathrm{E}(XY)\). Первые два могут существовать, а третьего может не быть.

Пример. Пусть случайная величина \(X\) принимает значения \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{4}\), \(\sqrt{8}\), … — значение \(\sqrt{2^k}\) с вероятностью \(\dfrac{1}{2^k}\):

\[X \sim \begin{pmatrix} \sqrt{2} & \sqrt{4} & \sqrt{8} & \ldots \\ 0{,}5 & 0{,}25 & 0{,}125 & \ldots \end{pmatrix}.\]

У этой величины математическое ожидание существует и равно \(\sqrt{2} + 1\). Возьмём в качестве второй величины \(Y = X\); тогда \(\mathrm{E}Y = \sqrt{2} + 1\) — оба ожидания есть.

Но произведение \(XY\) равно \(X^2\) и принимает значения 2, 4, 8, … с теми же вероятностями \(0{,}5\); \(0{,}25\); \(0{,}125\), …, так что каждое слагаемое в сумме для \(\mathrm{E}X^2\) равно 1:

\[\mathrm{E}X^2 = 2 \cdot 0{,}5 + 4 \cdot 0{,}25 + 8 \cdot 0{,}125 + \ldots = 1 + 1 + 1 + \ldots\]

Эта сумма неограниченно растёт, поэтому математического ожидания \(\mathrm{E}(XY)\) у такой пары нет, а значит, нет и ковариации.

Ответ: Да, может: ковариация существует только тогда, когда существуют все три ожидания — \(\mathrm{E}X\), \(\mathrm{E}Y\) и \(\mathrm{E}(XY)\); у пары из приведённого примера ожидания \(\mathrm{E}X\) и \(\mathrm{E}Y\) есть, а \(\mathrm{E}(XY)\) не существует, поэтому ковариации нет.

В примере у 15 юношей измерены два признака: рост \(X\) (в сантиметрах) и масса \(Y\) (в килограммах). Связь между этими признаками есть, и она положительная: чем выше человек, тем, скорее всего, больше его масса — у более высокого длиннее кости и больше объём тела. В данных это видно сразу: росту 167 см отвечает масса 62 кг, а росту 181 см — масса 80 кг.

Связь приблизительно линейная: прибавка роста на несколько сантиметров в среднем даёт примерно одинаковую прибавку массы, поэтому облако точек на диаграмме рассеивания вытянуто вдоль возрастающей прямой.

Жёсткой эта связь быть не может: у юношей одного роста масса разная. При росте 174 см в данных стоят массы 70 кг и 73 кг, при росте 175 см — 66 кг и 69 кг. Значит, по росту масса однозначно не восстанавливается, и связь остаётся нежёсткой.

Ответ: Связь между ростом и массой есть; она положительная (чем выше юноша, тем, скорее всего, больше его масса) и приблизительно линейная, но нежёсткая: у юношей одного роста масса разная.