Страница 244 номер 497, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Величина \(X\) распределена нормально, \(\sigma^2 = 4\) и \(m = 3\), поэтому \(\sigma = \sqrt{4} = 2\).
Искомый интервал симметричен относительно числа 3, поэтому его можно записать в виде \([3 - 2z;\ 3 + 2z]\), где \(z\) — число стандартных отклонений, отложенных от математического ожидания в каждую сторону.
После перехода \(Z = \frac{X - 3}{2}\) попадание величины \(X\) в этот интервал означает, что \(-z \leqslant Z \leqslant z\), а \(\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)\), поэтому \[\mathrm{P}(-z \leqslant Z \leqslant z) = \Phi(z) - \Phi(-z) = 2\Phi(z) - 1.\]
Требование «вероятность не менее \(0{,}95\)» даёт неравенство \(2\Phi(z) - 1 \geqslant 0{,}95\), то есть \(\Phi(z) \geqslant 0{,}975\).
По таблице \(\Phi(1{,}95) = 0{,}9744\) — этого мало, а \(\Phi(2{,}00) = 0{,}9772\) — уже с запасом, значит, наименьшее подходящее \(z\) лежит между \(1{,}95\) и \(2{,}00\): \[z \approx 1{,}95 + 0{,}05 \cdot \frac{0{,}975 - 0{,}9744}{0{,}9772 - 0{,}9744} \approx 1{,}96.\]
\(2 \cdot 1{,}96 = 3{,}92\) — столько откладываем от математического ожидания в каждую сторону.
Границы интервала: \(3 - 3{,}92 = -0{,}92\) и \(3 + 3{,}92 = 6{,}92\).
Ответ: \([-0{,}92;\ 6{,}92]\).
Случайная величина \(X\) распределена нормально, её дисперсия \(\sigma^2 = 4\), а математическое ожидание \(m = 3\). Стандартное отклонение равно \(\sigma = \sqrt{4} = 2\).
Искомый интервал симметричен относительно числа 3, поэтому его можно записать в виде \([3 - 2z;\ 3 + 2z]\), где \(z\) — положительное число, показывающее, сколько стандартных отклонений отложено от математического ожидания в каждую сторону.
Перейдём к стандартной величине \(Z = \frac{X - 3}{2}\): попадание величины \(X\) в интервал \([3 - 2z;\ 3 + 2z]\) означает, что \(-z \leqslant Z \leqslant z\). Плотность стандартного нормального распределения симметрична относительно оси ординат, поэтому \(\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)\), и
\[\mathrm{P}(-z \leqslant Z \leqslant z) = \Phi(z) - \Phi(-z) = 2\Phi(z) - 1.\]
Требование «вероятность не менее \(0{,}95\)» даёт неравенство \(2\Phi(z) - 1 \geqslant 0{,}95\), то есть \(\Phi(z) \geqslant 0{,}975\).
По таблице \(\Phi(1{,}95) = 0{,}9744\) — этого мало, а \(\Phi(2{,}00) = 0{,}9772\) — уже с запасом. Значит, наименьшее подходящее \(z\) лежит между \(1{,}95\) и \(2{,}00\); найдём его линейной интерполяцией:
\[z \approx 1{,}95 + 0{,}05 \cdot \frac{0{,}975 - 0{,}9744}{0{,}9772 - 0{,}9744} \approx 1{,}96.\]
Отложим от математического ожидания по \(1{,}96\) стандартного отклонения в каждую сторону: \(2 \cdot 1{,}96 = 3{,}92\), поэтому границы интервала равны \(3 - 3{,}92 = -0{,}92\) и \(3 + 3{,}92 = 6{,}92\).
Ответ: \([-0{,}92;\ 6{,}92]\).
