Страница 243 номер 489, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Кривая \(A\) расположена левее, её вершина выше, а сама кривая уже и круче; кривая \(B\) смещена вправо, её вершина ниже, а кривая шире и положе. Вершина графика нормальной плотности стоит над математическим ожиданием, а высота вершины равна \(\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\): чем меньше дисперсия, тем выше вершина и круче склоны.
1) \(m_A > m_B\) — ложно: вершина кривой \(A\) лежит левее вершины кривой \(B\), значит, \(m_A < m_B\).
2) \(\sigma_A < \sigma_B\) — истинно: вершина кривой \(A\) выше, а её склоны круче, значит, \(\sigma_A^2 < \sigma_B^2\), и из неравенства квадратов положительных чисел следует \(\sigma_A < \sigma_B\).
3) Множества значений случайных величин \(A\) и \(B\) одинаковы — истинно: плотность \(f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\,e^{-\frac{(x-m)^2}{2\sigma^2}}\) положительна при каждом \(x\), поэтому любой промежуток числовой прямой имеет положительную вероятность и для \(A\), и для \(B\): множество значений каждой величины — вся числовая прямая. То, что на краях кривая ложится на ось абсцисс, — особенность рисунка: значения плотности там очень малы, но положительны.
4) Множества значений функций плотности величин \(A\) и \(B\) одинаковы — ложно: множество значений плотности — промежуток \(\left(0;\ \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\right]\), правый конец которого равен высоте вершины, а вершины кривых \(A\) и \(B\) находятся на разной высоте, потому что дисперсии разные.
Ответ: Истинны высказывания 2) и 3); высказывания 1) и 4) ложны.
На рисунке даны графики плотности двух нормально распределённых случайных величин \(A\) и \(B\). Кривая \(A\) расположена левее, её вершина выше, а сама кривая уже и круче; кривая \(B\) смещена вправо, её вершина ниже, а кривая шире и положе.
Вершина графика нормальной плотности стоит над математическим ожиданием: кривая симметрична относительно прямой \(x = m\). Высота вершины равна \(\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\), поэтому чем меньше дисперсия, тем выше вершина и круче склоны.
1) \(m_A > m_B\).
Высказывание ложно. Вершина кривой \(A\) лежит левее вершины кривой \(B\), значит, \(m_A < m_B\).
2) \(\sigma_A < \sigma_B\).
Высказывание истинно. Вершина кривой \(A\) выше, а её склоны круче, значит, \(\sigma_A^2 < \sigma_B^2\). Стандартные отклонения положительны, поэтому из неравенства квадратов следует \(\sigma_A < \sigma_B\).
3) Множества значений случайных величин \(A\) и \(B\) одинаковы.
Высказывание истинно. Плотность нормального распределения \(f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\,e^{-\frac{(x-m)^2}{2\sigma^2}}\) положительна при каждом \(x\): показательная функция нуля не принимает. Поэтому любой промежуток числовой прямой имеет положительную вероятность — и для величины \(A\), и для величины \(B\). Множество значений каждой из них — вся числовая прямая, и эти множества совпадают. То, что на краях кривая ложится на ось абсцисс, — особенность рисунка: значения плотности там очень малы, но всё же положительны.
4) Множества значений функций плотности вероятности случайных величин \(A\) и \(B\) одинаковы.
Высказывание ложно. Наибольшее значение плотности достигается в вершине и равно \(\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\), а на краях значения сколь угодно малы, но положительны. Значит, множество значений плотности — промежуток \(\left(0;\ \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\right]\), и его правый конец — это высота вершины. Вершины кривых \(A\) и \(B\) находятся на разной высоте, потому что дисперсии разные, а значит, и промежутки разные.
Ответ: Истинны высказывания 2) и 3); высказывания 1) и 4) ложны.
