Вопросы после параграфа §50 на страницах 236-237, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Плотность задана двумя ветвями: при \(x \leqslant 0\) она равна нулю, при \(x > 0\) равна \(\frac{1}{\theta} e^{-\frac{x}{\theta}}\), — значит, её значение определено при каждом действительном \(x\).
Множество \(x > 0\) — не область определения, а лишь та часть прямой, где плотность положительна: левее нуля плотность тоже определена и равна нулю, ведь время ожидания отрицательным не бывает.
Ответ: Вся числовая прямая.
Показательное распределение \(Exp(\theta)\) задаётся одним положительным параметром \(\theta\): левее нуля плотность равна нулю, а правее убывает по показательному закону.
Например, при \(\theta = 2\) плотность равна нулю при \(x \leqslant 0\) и равна \(0{,}5 e^{-0{,}5x}\) при \(x > 0\).
Ответ: Плотность показательного распределения с параметром \(\theta > 0\) задаётся формулой \[f(x) = \begin{cases} 0, \text{ если } x \leqslant 0,\\[4pt] \dfrac{1}{\theta}\, e^{-\frac{x}{\theta}}, \text{ если } x > 0. \end{cases}\]
Если случайная величина \(T\) имеет распределение \(Exp(\theta)\), то \(\mathrm{E}T = \theta\) и \(\mathrm{D}T = \theta^2\): параметр \(\theta\) — это среднее время ожидания события и одновременно стандартное отклонение, ведь \(\sqrt{\mathrm{D}T} = \sqrt{\theta^2} = \theta\).
Например, если срок службы телевизора имеет распределение \(Exp(\theta)\) с \(\theta = 10\) лет, то в среднем телевизор служит 10 лет и стандартное отклонение срока службы тоже равно 10 годам.
Ответ: Параметр \(\theta\) — это среднее время ожидания события, \(\mathrm{E}T = \theta\); ему же равно и стандартное отклонение \(\sqrt{\mathrm{D}T}\).
Схожи тем, что оба описывают ожидание события в опыте без памяти: сколько бы мы уже ни прождали, вероятность дождаться события в ближайшее время остаётся прежней; и там и там математическое ожидание — среднее время ожидания события.
Различаются тем, чем меряется это время. Геометрическое распределение \(G(p)\) дискретно: время ожидания — целое число шагов, и задаётся оно таблицей, где у каждого значения своя вероятность. Показательное распределение \(Exp(\theta)\) непрерывно: время ожидания принимает любое положительное значение, таблицы нет, задаётся оно функцией плотности, а вероятности находятся как площади фигур под её графиком.
Например, число бросков монеты до первого выпадения орла имеет геометрическое распределение — дробного числа бросков не бывает, а время до первого звонка в кол-центр непрерывно, и его распределение показательное.
Ответ: Схожи тем, что оба описывают ожидание события в опыте без памяти и параметр в обоих случаях связан со средним временем ожидания; различаются тем, что геометрическое распределение дискретно и задаётся таблицей, а показательное непрерывно и задаётся функцией плотности.
Функция плотности показательного распределения задана двумя ветвями: при \(x \leqslant 0\) она равна нулю, а при \(x > 0\) равна \(\frac{1}{\theta} e^{-\frac{x}{\theta}}\). Значит, значение этой функции определено при каждом действительном \(x\), и область определения — вся числовая прямая.
Множество \(x > 0\) областью определения не является: это лишь та часть прямой, где плотность положительна. Левее нуля плотность тоже определена и равна нулю — время ожидания отрицательным не бывает, поэтому вероятность получить значение левее нуля равна нулю.
Ответ: Вся числовая прямая.
Показательное распределение \(Exp(\theta)\) задаётся одним положительным параметром \(\theta\), и его функция плотности равна нулю на левой части прямой, а правее нуля убывает по показательному закону.
Например, при \(\theta = 2\) плотность равна нулю при \(x \leqslant 0\) и равна \(0{,}5 e^{-0{,}5x}\) при \(x > 0\).
Ответ: Плотность показательного распределения с параметром \(\theta > 0\) задаётся формулой \[f(x) = \begin{cases} 0, \text{ если } x \leqslant 0,\\[4pt] \dfrac{1}{\theta}\, e^{-\frac{x}{\theta}}, \text{ если } x > 0. \end{cases}\]
Если случайная величина \(T\) имеет распределение \(Exp(\theta)\), то \(\mathrm{E}T = \theta\) и \(\mathrm{D}T = \theta^2\). Поэтому параметр \(\theta\) — это среднее время ожидания события; одновременно это и стандартное отклонение, ведь \(\sqrt{\mathrm{D}T} = \sqrt{\theta^2} = \theta\).
Например, если срок безотказной службы телевизора имеет показательное распределение с параметром \(\theta = 10\) лет, то в среднем телевизор служит 10 лет, и стандартное отклонение срока службы тоже равно 10 годам.
Ответ: Параметр \(\theta\) — это среднее время ожидания события, \(\mathrm{E}T = \theta\); ему же равно и стандартное отклонение \(\sqrt{\mathrm{D}T}\).
Схожи они тем, что оба описывают ожидание события в опыте, который «не помнит», что было раньше: сколько бы мы уже ни прождали, вероятность дождаться события в ближайшее время остаётся прежней. И там и там математическое ожидание — это среднее время ожидания события.
Различаются они тем, чем меряется это время. Геометрическое распределение \(G(p)\) дискретно: время ожидания меряется целым числом шагов — бросков, минут, лет, — и распределение задаётся таблицей, в которой у каждого значения своя вероятность. Показательное распределение \(Exp(\theta)\) непрерывно: время ожидания может принять любое положительное значение, таблицы у него нет, и задаётся оно функцией плотности, а вероятности находятся как площади фигур под её графиком.
Например, число бросков монеты до первого выпадения орла имеет геометрическое распределение: дробного числа бросков не бывает. А время до первого звонка в кол-центр непрерывно — его распределение показательное.
Поэтому показательное распределение называют непрерывным аналогом геометрического.
Ответ: Схожи тем, что оба описывают ожидание события в опыте без памяти и параметр в обоих случаях связан со средним временем ожидания; различаются тем, что геометрическое распределение дискретно и задаётся таблицей, а показательное непрерывно и задаётся функцией плотности.
